Menentukan Jumlah N Suku Terakhir Suatu Deret Aritmatika

.com - Jumlah n Suku Terakhir. Kadab membahas soal deret, maka subtopik utama yang akan dibahasa yaitu menentukan jumlah n suku pertama deret tersebut. Jumlah n suku pertama deret aritmatika biasa dilambangkan dengan "Sn" dengan n menyatakan banyak atau jumlah suku pertama yang dijumlahkan. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika mampu ditentukan menggunakan dua rumus dasar Sn yang telah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya. Lalu bagaimana jikalau yang ditanya yaitu jumlah n suku terakhir? Jika diketahui deret aritmatika terdiri dari n suku dan anda diminta menentukan jumlah n suku terakhirnya, bagaimana cara menentukannya? Apakah akan sama dengan cara menentukan jumlah n suku pertama?

Jumlah n suku pertama pada dasarnya menjumlahkan sebanyak n suku pertama suatu deret. Dengan prinsip yang sama, jumlah n suku tekakhir maksudnya yaitu menjumlahkan sebanyak n suku terakhir suatu deret. Jika jumlah n suku pertama kita lihat dari suku pertama, maka jumlah n suku terakhir kita lihat dari kepingan suku terakhir.

Misalkan diketahui sebuah deret aritmatika terdiri dari sepuluh suku yang ditulis sebagai U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀. Dari deret tersebut, misal kita diminta menentukan jumlah 5 suku pertama dan jumlah 5 suku terakhir. Dalam hal ini, lima suku pertama yaitu U₁, U₂, U₃, U₄ , dan U₅, sedangkan lima suku terakhir yaitu U₆, U₇, U₈, U₉ dan U₁₀.

Dengan demikian, jikalau diminta menentukan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut, maka perhitungannya yaitu sebagai diberikut :
⇒ S₅ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅

Dengan cara yang sama, jumlah 5 suku terakhir dari deret tersebut ditentukan dengan menjumlahkan 5 suku terakhir sebagai diberikut :
⇒S₅ = U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀

Sampai di sini kita sudah melihat bagaimana prinsip penjumlah jumlah n suku pertama dan jumlah n suku terakhir. Intinya, jumlah n suku pertama dilihat dari sebelah kiri (dimulai dari suku pertama) sedangkan jumlah n suku terkahir dilihat dari sebelah kanan (dimulai dari suku terakhir).

Cara di atas mampu dengan simpel kita lakukan jikalau deret tersebut terdiri dari jumlah suku yang sedikit dan seluruh sukunya diketahui. Tapi bagaimana jikalau deret itu terdiri dari belasan atau puluhan suku dan hanya beberapa suku saja yang diketahui? Bagaimana cara menentukan jumlah n suku terakhirnya?

Jika dihadapkan pada kondisi mirip itu, maka kita mampu memanfaatkan sifat-sifat barisan aritmatika dan rumus dasar menentukan jumlah n suku pertama. Prinsipnya yaitu kita memisahkan n suku terakhir menjadi sebuah deret sehingga akan sama prinsipnya dengan n suku pertama.

Sebagai contoh, misalkan deret terdiri dari sepuluh suku sebagai diberikut :
U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀.

Dari deret tersebut kita diminta menentukan jumlah 4 suku terakhir. Kita tahu, 4 suku terakhir yang dimaksud dalam deret tersebut yaitu U₇, U₈, U₉ dan U₁₀. Nah, selanjutnya kita mampu memisahkan keempat suku tersebut sehingga dihasilkan deret aritmatika yang hanya terdiri dari empat suku.

Deret aritmatika yang terdiri dari 4 suku terakhir yaitu sebagai diberikut :
U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀.

Jika deret tersebut kita pandang sebagai sebuah deret yang baru atau yang terpisah dari deret tiruanla (yang sukunya ada sepuluh), maka kita mampu menganggap keempat suku terkahir itu sebagai empat suku pertama. Dalam hal ini, U₇ menjadi U₁, U₈ menjadi U₂,  U₉ menjadi U₃, dan U₁₀ menjadi U₄.
 
Tapi perlu diingat bahwa pengandaian tersebut hanya berlaku untuk penomoran sukunya saja, sedangkan skor dari masing-masing suku tetap sama. Sebagai contoh, didiberi deret : 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20.

Dari deret tersebut, empat suku terakhirnya yaitu 14, 16, 18, dan 20. Keempat suku tersebut mampu disusun sebagai deret tersendiri yang terdiri dari empat suku sebagai diberikut :
14 + 16 + 18 + 20.

Nah, dalam hal ini, tiruanla 14, 16, 18, dan 20 pada deret yang pertama (yang terdiri dari 9 suku) merupakan suku ke-6, suku ke-7, suku ke-8, dan suku ke-9. Akan tetapi, pada deret tersendiri (yang terdiri dari 4 suku), keempat suku itu mampu kita anggap sebagai suku pertama, suku ke-2, suku ke-3, dan suku ke-4.

Contoh :
Lima belas bilangan membentuk deret aritmatika dengan beda positif. Jika diketahui jumlah suku ke-13 dan suku ke-15 sama dengan 188 sedangkan selisih antara suku ke-13 dan suku ke-15 yaitu 14, maka tentukanlah jumlah 5 suku terakhir deret tersebut.

Pembahasan :
Dik : U₁₃ + U₁₅ = 188, U₁₅ - U₁₃ = 14
Dit : S₅ suku terakhir = .... ?

Deret tersebut terdiri dari 15 suku sebagai diberikut :
U₁ + U₂ + U₃ + U₄ + U₅ + U₆ + U₇ + U₈ + U₉ + U₁₀ + U₁₁ + U₁₂ + U₁₃ + U₁₄ + U₁₅.

Deret yang terbentuk dari lima suku terakhirnya yaitu :
U₁₁ + U₁₂ + U₁₃ + U₁₄ + U₁₅

Dalam hal ini, mari kita pandang deret yang terdiri dari 5 suku terakhir sebagai deret tersendiri sehingga dalam hal ini, U₁₁ bertindak sebagai suku pertama (a), dan U₁₅ bertindak sebagai suku terakhir (Un).

Untuk menentukan jumlah 5 suku tersebut, kita harus menentukan terludang keringh lampau suku pertamanya (dalam hal ini U₁₁) dan suku terkahirnya (dalam hal ini U₁₅).

Dari soal kita peroleh dua persamaan :
(1) U₁₃ + U₁₅ = 188
(2) U₁₅ - U₁₃ = 14

Sesuai dengan konsep Un, maka kita peroleh :
⇒ U₁₅ = U₁₄ + b
⇒ U₁₅ = U₁₃ + b + b
⇒ U₁₅ = U₁₃ + 2b

Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (2) :
⇒ U₁₅ - U₁₃ = 14
⇒ U₁₃ + 2b - U₁₃ = 14
⇒ 2b = 14
⇒ b = 7

Selanjutnya, substitusi persamaan U₁₅ dan  skor b ke persamaan (1) :
⇒ U₁₃ + U₁₅ = 188
⇒ U₁₃ + U₁₃ + 2b = 188
⇒ 2U₁₃ + 2(7) = 188
⇒ 2U₁₃ = 188 - 14
⇒ 2U₁₃ = 174
⇒ U₁₃ = 87

Selanjutnya kita peroleh suku ke-15 sebagai diberikut :
⇒ U₁₅ = U₁₃ + 2b
⇒ U₁₅ = 87 + 2(7)
⇒ U₁₅ = 101

Kita sudah peroleh suku terakhirnya, selanjutnya tinggal mencari suku pertama (suku ke-11). Caraya yaitu sebagai diberikut :
⇒ U₁₃ = U₁₁ + 2b
⇒ 87 = U₁₁ + 2(7)
⇒ U₁₁ = 87 - 14
⇒ U₁₁ = 73

Dengan demikian, jumlah 5 suku terahirnya yaitu :
⇒ S₅ = n/2 (a +  Un)
⇒ S₅ = 5/2 (U₁₁ + U₁₅)
⇒ S₅ = 5/2 (73 + 101)
⇒ S₅ = 5/2 (174)
⇒ S₅ = 435

Jadi, jumlah 5 suku terakhir deret tersebut yaitu 435.
Sumber http://duniabelajarsiswapintar39.blogspot.com

Berlangganan Informasi Terbaru: