Menentukan Suku Ke-N Jika Jumlah N Suku Pertama Diketahui

.com - Cara Menentukan Rumus Un Berdasarkan Rumus Sn. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah menunjukkan bagaimana rumus jumlah n suku pertama suatu deret artimatika mampu dinyatakan atau diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Sebelumnya juga diketahui bahwa rumus Sn mampu ditentukan kalau suku ke-n (Un) diketahui. Itu artinya, kita juga mampu menentukan suku ke-n suatu deret artimatika kalau jumlah n suku pertamanya diketahui. Tapi bagaimana kalau jumlah n suku pertama tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat dan anda diminta untuk menentukan rumus suku ke-n deret tersebut? Bagaimana cara menentukannya?

#1 Dengan Mensubstitusi Nilai n

Jika rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat, maka rumus suku ke-n deret tersebut mampu ditentukan dengan cara menentukan suku pertama dan suku kedua deret tersebut terludang kecepeh berlalu dan silam.

Caranya ialah dengan mensubstitusikan penilaian n = 1 dan n = 2 ke persamaan rumus jumlah n suku pertama yang diketahui pada soal. Setelah suku pertama (a) dan suku kedua diketahui, maka kita mampu menghitung beda barisan (b) tersebut.

Karena suku pertama dan beda barisan sudah diketahui, maka kita mampu menentukan rumus suku ke-n deret tersebut dengan cara mensubstitusikan penilaian a dan b ke rumus dasar suku ke-n, yaitu:

Un = a + (n - 1)b

Dengan Un menyatakan suku ke-n deret aritmatika, a menyatakan suku pertama deret artimatika, n menyatakan banyak suku, dan b menyatakan beda deret. Hasil selesai akan diperoleh persamaan dalam varaibel n.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama pada suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n² + 5n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut!

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n² + 5n
Dit : Un = .... ?

Perlu diingat bahwa jumlah 1 suku pertama dalam suatu deret tentu sama dengan suku pertama deret tersebut alasannya ialah ialah hanya satu suku saja yang dijumlahkan.

Langkah pertama tentukan suku pertama, subsitusi n = 1 :
⇒ U₁ = S₁
⇒ U₁ = 3(1)² + 5(1)
⇒ U₁ = 3 + 5
⇒ U₁ = 8
⇒ a = 8

Selanjutnya, tentukan jumlah 2 suku pertama, substitusi n = 2 :
⇒ S₂ = 3(2)² + 5(2)
⇒ S₂ = 3.4 + 10
⇒ S₂ = 12 + 10
⇒ S₂ = 22

Kemudian, kita mampu menentukan suku kedua. Karena jumlah 2 suku pertama sama artinya dengan jumlah suku pertama ditambah suku kedua, maka berlaku :
⇒ S₂ = U₁ + U₂
⇒ 22 = 8 +  U₂
⇒ U₂ = 22 - 8
⇒ U₂ = 14

Selanjutnya kita peroleh beda deret dengan cara :
⇒ b = U₂ - U₁
⇒ b = 14 - 8
⇒ b = 6

Langkah terkahir, substitusi penilaian a dan b ker rumus Un :
⇒ Un = a + (n - 1) b
⇒ Un = 8 + (n - 1)6
⇒ Un = 8 + 6n - 6
⇒ Un = 6n + 2

Jadi, suku ke-n deret tersebut ialah Un = 6n + 2. Bandingkan hasil ini degan menggunakan cara kedua yaitu dengan konsep suku ke-n memberikankut ini.

#2 Dengan Konsep Suku ke-n

Jika dihubungkan dengan jumlah n suku pertama, ada sebuah konsep mengenai suku ke-n yang sebetulnya berlaku untuk tiruana jenis deret termasuk deret aritmatika. Konsep ini menyatakan bahwa suku ke-n sama dengan selisih antara jumlah n suku pertama (Sn) dengan jumlah n-1 suku pertama (S_n-1).

Untuk memahami konsep tersebut, mari kita ambil sebuah contoh kasus. Misalkan dimemberikankan sebuah deret aritmatika yang terdiri dari 5 suku, yaitu :
4 + 8 + 12 + 16 + 20

Jumlah 5 suku pertama untuk deret tersebut ialah :
⇒ S₅ = 4 + 8 + 12 + 16 + 20
⇒ S₅ = 60

Selanjutnya mari kita hitung jumlah n-1 suku pertama. Dalam hal ini, alasannya ialah ialah jumlah sukunya ada 5, maka yang dimaksud dengan jumlah n-1 suku pertama ialah jumlah 4 suku pertama (S₄). Jika dihitung menggunakan rumus Sn, maka :
⇒ S₄ = 4 + 8 + 12 + 16
⇒ S₄ = 40

Nah, sekarang coba perhatikan bahwa jumlah 4 suku pertama pada deret tersebut sama dengan jumlah 5 suku pertama dikurangi suku terakhir yaitu 20. Suku terakhir itu ialah suku kelima. Dengan demikian, berlaku :
⇒ S₄ = 60 - 20
⇒ S₄ = S₅ - U₅
⇒ U₅ = S₅ - S₄

Dengan demikian, secara umum suku ke-n mampu dinyatakan dengan rumus memberikankut :

Un = Sn − Sn-1

Dengan Un menyatakan suku ke-n barisan atau deret aritmatika, Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika, dan S_n-1 menyatakan jumlah n-1 suku pertama deret tersebut.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama pada suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n² + 5n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut!

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n² + 5n
Dit : Un = .... ?

Langkah pertama kita tentukan dulu persamaan untuk S_n-1, dengan cara mensubstitusi atau mengganti n menjadi n - 1 sebagai memberikankut :
⇒ Sn = 3n² + 5n
⇒ S_n-1 = 3(n - 1)² + 5(n - 1)
⇒ S_n-1 = 3(n² - 2n + 1) + 5n - 5
⇒ S_n-1 = 3n² - 6n + 3 + 5n - 5
⇒ S_n-1 = 3n² - n - 2

Selanjutnya, kita tentukan Un berdasarkan konsep:
⇒ Un = Sn − S_n-1
⇒ Un = 3n² + 5n − (3n² - n - 2)
⇒ Un = 3n² − 3n² + 5n + n + 2
⇒ Un = 6n + 2

Jadi, diperoleh rumus Un yang sama dengan cara pertama, yaitu Un = 6n + 2.

Demikian pembahasan singkat mengenai cara menentukan rumus suku ke-n (Un) kalau rumus jumlah n suku pertama (Sn) diketahui. Jika bahan berguru ini memberi manfaat, bantu kami membagikan kepada sobat anda melalui tombol share di bawah ini.
Sumber http://duniabelajarsiswapintar39.blogspot.com

Berlangganan Informasi Terbaru: