Persamaan Diophantine Oleh Diophantus Spesialis Matematika Dari Alexandria
Salam Para Bintang...
Kali ini kita, coba berdiskusi wacana persamaan Diophantus atau dikenal persamaan Diaphontine. Sebelumya kita harus kenal dengan Diophantus spesialis Matematika dari Alexandria (Yunani Kuno: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; lahir mungkin antara tahun 201 dan 215 M; meninggal sekitar 84 tahun, mungkin sekitar tahun 285 dan 299 M) yaitu spesialis matematika Hellenistik Aleksandria, yang merupakan penulis dari serangkaian buku yang disebut Arithmetica, banyak yang kini hilang. Kadang-kadang disebut "bapak aljabar", teksnya berurusan dengan memecahkan persamaan aljabar.
Ketika membaca karya Claude Gaspard Bachet de Méziriac wacana Diophantus 'Arithmetica, Pierre de Fermat menyimpulkan bahwa persamaan tertentu yang dianggap oleh Diophantus tidak mempunyai solusi, dan dicatat dalam margin tanpa klarifikasi terperinci bahwa ia telah menemukan "bukti yang benar-benar luar biasa dari proposisi ini," kini disebut sebagai Teorema Terakhir Fermat. Hal ini menjadikan kemajuan luar biasa dalam teori bilangan, dan studi persamaan Diophantine ("Diophantine geometry") dan pendekatan Diophantine tetap menjadi bidang penting dalam penelitian matematika. Diophantus membuat istilah παρισότης (parisotes) untuk merujuk pada persamaan perkiraan. Istilah ini diterjemahkan sebagai adaequalitas dalam bahasa Latin, dan menjadi teknik adequality yang dikembangkan oleh Pierre de Fermat untuk menemukan maxima untuk fungsi dan garis singgung ke kurva.
Diophantus yaitu hebat matematika Yunani pertama yang mengenali pecahan sebagai angka; jadi ia membiarkan bilangan rasional positif untuk koefisien dan solusi. Dalam penggunaan modern, persamaan Diophantine biasanya persamaan aljabar dengan koefisien integer, yang dicari solusi integer.
Sebagian besar pengetahuan kita wacana kehidupan Diophantus berasal dari antologi Yunani masa ke-5 wacana sejumlah permainan dan teka-teki yang dibentuk oleh Metrodorus. Salah satu problem (kadang-kadang disebut goresan pena di kerikil nisannya) menyatakan:
"Di sinilah Diophantus," lihatlah keajaiban.
Melalui seni aljabar, kerikil menceritakan berapa usia:
'Tuhan memberinya masa kanak-kanaknya seperenam dari hidupnya,
Seperduabelas lebih muda ketika kumis tumbuh;
Dan kemudian, ketujuh perkawinan telah dimulai;
Dalam lima tahun datanglah seorang putra gres yang memantul.
Sayangnya, anak terkasih dari tuan dan orang bijak
Setelah mencapai setengah dari takdir kehidupan ayahnya, nasib membawanya. Setelah menghibur nasibnya dengan ilmu angka selama empat tahun, ia mengakhiri hidupnya. '
Teka-teki ini menyiratkan bahwa usia x Diophantus sanggup dinyatakan sebagai
x = x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4
yang memberi nilai x yaitu 84 tahun. Namun, keakuratan isu tidak sanggup dikonfirmasi secara independen.
Dalam budaya populer, teka-teki ini yaitu Puzzle No.142 di Profesor Layton dan Pandora's Box sebagai salah satu teka-teki pemecahan paling sulit dalam permainan, yang perlu dibuka dengan memecahkan teka-teki lain terlebih dahulu.
"Di sinilah Diophantus," lihatlah keajaiban.
Melalui seni aljabar, kerikil menceritakan berapa usia:
'Tuhan memberinya masa kanak-kanaknya seperenam dari hidupnya,
Seperduabelas lebih muda ketika kumis tumbuh;
Dan kemudian, ketujuh perkawinan telah dimulai;
Dalam lima tahun datanglah seorang putra gres yang memantul.
Sayangnya, anak terkasih dari tuan dan orang bijak
Setelah mencapai setengah dari takdir kehidupan ayahnya, nasib membawanya. Setelah menghibur nasibnya dengan ilmu angka selama empat tahun, ia mengakhiri hidupnya. '
Teka-teki ini menyiratkan bahwa usia x Diophantus sanggup dinyatakan sebagai
x = x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4
yang memberi nilai x yaitu 84 tahun. Namun, keakuratan isu tidak sanggup dikonfirmasi secara independen.
Dalam budaya populer, teka-teki ini yaitu Puzzle No.142 di Profesor Layton dan Pandora's Box sebagai salah satu teka-teki pemecahan paling sulit dalam permainan, yang perlu dibuka dengan memecahkan teka-teki lain terlebih dahulu.
Arithmetica yaitu karya utama Diophantus dan karya paling menonjol wacana aljabar dalam matematika Yunani. Ini yaitu kumpulan problem yang memperlihatkan solusi numerik dari persamaan determinasi dan tak tentu. Dari tiga belas buku orisinil yang terdiri dari Arithmetica hanya enam yang selamat, meskipun ada beberapa yang percaya bahwa empat buku Arab yang ditemukan pada tahun 1968 juga oleh Diophantus. Beberapa problem Diophantine dari Arithmetica telah ditemukan dalam sumber-sumber berbahasa Arab.
Harus disebutkan di sini bahwa Diophantus tidak pernah memakai metode umum dalam solusinya. Hermann Hankel, hebat matematika Jerman terkenal membuat pernyataan berikut wacana Diophantus.
“Penulis kami (Diophantos) tidak sedikitpun jejak dari metode umum, komprehensif yang sanggup dilihat; setiap problem memerlukan beberapa metode khusus yang menolak untuk bekerja bahkan untuk problem yang paling terkait sekalipun. Untuk alasan ini sulit bagi sarjana modern untuk memecahkan problem ke-101 bahkan sesudah mempelajari 100 solusi Diophantos ”.
Harus disebutkan di sini bahwa Diophantus tidak pernah memakai metode umum dalam solusinya. Hermann Hankel, hebat matematika Jerman terkenal membuat pernyataan berikut wacana Diophantus.
“Penulis kami (Diophantos) tidak sedikitpun jejak dari metode umum, komprehensif yang sanggup dilihat; setiap problem memerlukan beberapa metode khusus yang menolak untuk bekerja bahkan untuk problem yang paling terkait sekalipun. Untuk alasan ini sulit bagi sarjana modern untuk memecahkan problem ke-101 bahkan sesudah mempelajari 100 solusi Diophantos ”.
Saat ini, analisis Diophantine yaitu bidang studi di mana solusi bilangan bundar (bilangan bulat) dicari untuk persamaan, dan persamaan Diophantine yaitu persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bundar yang hanya mencari solusi bilangan bulat. Biasanya agak sulit untuk menyampaikan apakah persamaan Diophantine yang diberikan sanggup dipecahkan. Sebagian besar problem di Arithmetica mengarah ke persamaan kuadrat. Diophantus mengamati 3 jenis persamaan kuadrat: ax^2 + bx = c, ax^2= bx + c, dan ax^2 + c = bx. Alasan mengapa ada tiga masalah untuk Diophantus, sementara hari ini kami hanya mempunyai satu kasus, yaitu bahwa ia tidak mempunyai gagasan untuk nol dan ia menghindari koefisien negatif dengan mempertimbangkan angka yang diberikan a, b, c untuk semuanya menjadi positif di masing-masing tiga masalah di atas. Diophantus selalu puas dengan solusi rasional dan tidak memerlukan bilangan bundar yang berarti ia mendapatkan pecahan sebagai solusi untuk masalahnya. Diophantus menganggap solusi akar kuadrat negatif atau irasional "tidak berguna", "tidak berarti", dan bahkan "tidak masuk akal". Untuk memperlihatkan satu pola spesifik, ia menyebut persamaan 4 = 4x + 20 'absurd' alasannya akan menghasilkan nilai negatif untuk x. Satu solusi yaitu semua yang ia cari dalam persamaan kuadrat. Tidak ada bukti yang memperlihatkan Diophantus bahkan menyadari bahwa mungkin ada dua solusi untuk persamaan kuadratik. Dia juga menganggap persamaan kuadrat simultan.
Diophantus membuat kemajuan penting dalam notasi matematika, menjadi orang pertama yang diketahui memakai notasi aljabar dan simbolisme. Sebelum dia, semua orang menulis persamaan sepenuhnya. Diophantus memperkenalkan simbolisme aljabar yang memakai notasi ringkas untuk operasi yang sering terjadi, dan akronim untuk yang tidak diketahui dan untuk kekuatan yang tidak diketahui. Ahli sejarah matematika Kurt Vogel menyatakan:
"Simbolisme yang diperkenalkan oleh Diophantus untuk pertama kalinya, dan tidak diragukan lagi dirancang sendiri, menyediakan cara singkat dan gampang dipahami untuk mengekspresikan persamaan ... Karena akronim juga dipakai untuk kata 'sama dengan', Diophantus mengambil langkah fundamental dari verbal aljabar menuju aljabar simbolik. "
Meskipun Diophantus membuat kemajuan penting dalam simbolisme, ia masih kekurangan notasi yang diharapkan untuk mengekspresikan metode yang lebih umum. Ini menjadikan karyanya lebih mementingkan problem tertentu daripada situasi umum. Beberapa batasan dari notasi Diophantus yaitu bahwa ia hanya mempunyai notasi untuk satu yang tidak diketahui dan, ketika problem melibatkan lebih dari satu yang tidak diketahui, Diophantus dikurangi untuk mengekspresikan "tidak dikenal pertama", "tidak diketahui kedua", dll. Dengan kata-kata. Dia juga tidak mempunyai simbol untuk bilangan umum n. Di mana kita akan menulis 12 + 6n / n^2 - 3, Diophantus harus memakai konstruksi seperti: "... angka enam kali lipat meningkat dua belas, yang dibagi dengan perbedaan dengan mana kuadrat angka melebihi tiga".
Aljabar masih mempunyai jalan panjang sebelum problem yang sangat umum sanggup ditulis dan diselesaikan dengan ringkas.
"Simbolisme yang diperkenalkan oleh Diophantus untuk pertama kalinya, dan tidak diragukan lagi dirancang sendiri, menyediakan cara singkat dan gampang dipahami untuk mengekspresikan persamaan ... Karena akronim juga dipakai untuk kata 'sama dengan', Diophantus mengambil langkah fundamental dari verbal aljabar menuju aljabar simbolik. "
Meskipun Diophantus membuat kemajuan penting dalam simbolisme, ia masih kekurangan notasi yang diharapkan untuk mengekspresikan metode yang lebih umum. Ini menjadikan karyanya lebih mementingkan problem tertentu daripada situasi umum. Beberapa batasan dari notasi Diophantus yaitu bahwa ia hanya mempunyai notasi untuk satu yang tidak diketahui dan, ketika problem melibatkan lebih dari satu yang tidak diketahui, Diophantus dikurangi untuk mengekspresikan "tidak dikenal pertama", "tidak diketahui kedua", dll. Dengan kata-kata. Dia juga tidak mempunyai simbol untuk bilangan umum n. Di mana kita akan menulis 12 + 6n / n^2 - 3, Diophantus harus memakai konstruksi seperti: "... angka enam kali lipat meningkat dua belas, yang dibagi dengan perbedaan dengan mana kuadrat angka melebihi tiga".
Aljabar masih mempunyai jalan panjang sebelum problem yang sangat umum sanggup ditulis dan diselesaikan dengan ringkas.
Contoh Persamaan Diophantine yang paling klasik yaitu persamaan ax + by = c, dengan a, b, dan c .
Diketahui, contohnya 15x + 11y = 12. Bagaimana mencari solusi persamaan ini?
Karena 15 dan 11 relatif prima (faktor komplotan terbesarnya sama dengan 1), kita sanggup menemukan bilangan bundar x dan y sedemikian sehingga 15x + 11y = 1 dengan memakai Algoritma Euclid:
15 = 1(11) + 4
11 = 2(4) + 3
4 = 1(3) + 1
3 = 3(1) + 0.
Bila kita telusuri dari persamaan kedua terakhir, kita peroleh:
1 = 4 – 1(3)
= 4 – 1[11 – 2(4)] = 3(4) – 1(11)
= 3[15 – 1(11)] – 1(11) = 3(15) – 4(11).
Dengan demikian kita dapatkan solusi persamaan 15x + 11y = 1, yaitu x = 3 dan y = -4.
Solusi umum dari persamaan 15x + 11y = 1 adalah x = 3 – 11k dan y = -4 + 15k, dengan k bilangan bulat.)
Selanjutnya, solusi dari persamaan 15x + 11y = 12 sanggup diperoleh dengan mengalikan solusi dari persamaan 15x + 11y = 1 dengan 12.
Jadi, solusi yang kita cari yaitu x = 36 dan y = -48.
Solusi umumnya yaitu x = 36 – 11k dan y = -48 + 15k.
Demikian dulu diskusi kita wacana Persamaan Diophantine oleh Diophantus spesialis Matematika dari Alexandria. Semoga bermanfaat.
0 Response to "Persamaan Diophantine Oleh Diophantus Spesialis Matematika Dari Alexandria"
Posting Komentar