Rumus Trigonometri Jumlah Dan Selisih Dua Sudut
Pada bahan ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut lalu memakai rumus tersebut dalam menuntaskan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.
Penguasaan bahan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan perbandingan trigonometri sudut berelasi akan sangat membantu dalam mempelajari bahan ini.
Berikut beberapa sudut kekerabatan yang dipakai :
sin (90° - θ) = cos θ
cos (90° - θ) = sin θ
sin (180° - θ) = cos θ
cos (180° - θ) = -sin θ
sin (-θ) = -sin θ
cos (-θ) = cos θ
sin (α + β) dan sin (α - β)
Diberikan sebuah bundar dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada bundar sehingga OP = 1.∠ POS = α + β
∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α
Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram berikut
Dari segitiga OPS diperoleh
sin (α + β) = PS
PS = RS + PR dan RS = QT, sanggup kita tulis
PS = QT + PR, akibatnya
sin (α + β) = QT + PR .........................(1)
Dari segitiga OPQ diperoleh
PQ = sin β
OQ = cos β
Dari segitiga OQT dipeoleh
sin α = \(\mathrm{\frac{QT}{OQ}}\)
QT = sin α . OQ
QT = sin α . cos β ..............................(2)
Dari segitiga PQR diperoleh
cos α = \(\mathrm{\frac{PR}{PQ}}\)
PR = cos α . PQ
PR = cos α . sin β ..............................(3)
Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan
sin (α + β) = QT + PR
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Jika β diganti dengan -β, maka
sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)
sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
Contoh 1
Tentukan nilai eksak dari sin 75°
Jawab :
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2
sin 75° = ¼√2 + ¼√6
sin 75° = ¼(√2 + √6)
cos (α + β) = sin (90° - (α + β))
cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)
cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β
Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut
Contoh 2
Tentukan nilai eksak dari cos 105°
Jawab :
cos 105° = cos (60° + 45°)
cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°
cos 105° = ½ . ½√2 - ½√3 . ½√2
cos 105° = ¼√2 - ¼√6
cos 105° = ¼(√2 - √6)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,(\alpha +\beta )}{cos\,(\alpha +\beta )}}\)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,\alpha \,cos\,\beta \,+\,cos\,\alpha \,sin\,\beta }{cos\,\alpha \,cos\,\beta \,-\,sin\,\alpha \,sin\,\beta }\times { \frac{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta} }{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta }}}}\)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
Jika β diganti dengan -β, maka
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,(-\beta) }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,(-\beta) }}\)
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi tangen sebagai berikut
Contoh 3
Tentukan nilai eksak dari tan 15°
Jawab :
tan 15° = tan (45° - 30°)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{tan\,45^{\circ}\,-\,tan\,30^{\circ}}{1\,+\,tan\,45^{\circ}\,tan\,30^{\circ}}}\)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{1\,-\,\frac{\sqrt{3}}{3}}{1\,+\,1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\color{Red} \;\;\times \frac{3}{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,+\,\sqrt{3}}\;\; {\color{Red}\times \frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,-\,\sqrt{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{12\,-\,6\sqrt{3}}{6}\)
tan 15° = 2 - √3
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
tan (α - β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
Latihan 1
Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α ialah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α - β) !
Jawab :
α lancip berarti α berada di kuadran I.
β tumpul berarti β berada di kuadran II.
cos α = 3/5 → sin α = 4/5
sin α bernilai konkret alasannya α berada di kuadran I.
sin β = 5/13 → cos β = -12/13
cos β bernilai negatif alasannya β berada di kuadran II.
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α - β) = 4/5 . (-12/13) - 3/5 . 5/13
sin (α - β) = -48/65 - 15/65
sin (α - β) = -63/65
Latihan 2
Diketahui A, B dan C ialah sudut-sudut suatu segitiga. Jika tan A = 1/3 dan tan B = 1/2, tentukan nilai dari cos C !
Jawab :
tan A = 1/3 → sin A = 1/√10 dan cos A = 3/√10
tan B = 1/2 → sin B = 1/√5 dan cos B = 2/√5
A + B + C = 180°
C = 180° - (A + B)
cos C = cos (180° - (A + B))
cos C = -cos (A + B)
cos C = -(cos A cos B - sin A sin B)
cos C = -(3/√10 . 2/√5 - 1/√10 . 1/√5)
cos C = -(6/√50 - 1/√50)
cos C = -5/√50
cos C = -\(\frac{1}{2}\)√2
Latihan 3
Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !
Jawab :
Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°
cos (P + Q) = 2/3
cos (90° + Q) = 2/3
cos 90° cos Q - sin 90° sin Q = 2/3
0 . cos Q - 1 . sin Q = 2/3
0 - sin Q = 2/3
sin Q = -2/3
P + Q + R = 180°
90° + Q + R = 180°
R = 90° - Q
cos R = cos (90° - Q) = sin Q
diperoleh cos R = sin Q = -2/3
Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3
Latihan 4
Diketahui A - B = 30° dengan sudut A dan B lancip. Jika sin A cos B = 7/10, tentukan nilai sin (A + B) !
Jawab :
Karena A - B = 30°, maka
sin (A - B) = sin 30° = 1/2
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
1/2 = 7/10 - cos A sin B
cos A sin B = 7/10 - 1/2 = 1/5
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A + B) = 7/10 + 1/5
sin (A + B) = 9/10
Jadi, sin (A + B) = 9/10
Latihan 5
Diketahui α, β dan γ ialah sudut-sudut suatu segitiga. Jika cos γ = -4/√65 dan tan α + tan β = 7/6, tentukan tan α tan β !
Jawab :
γ = 180° - (α + β)
cos γ = cos(180° - (α + β)) = -cos (α + β)
Jadi, cos (α + β) = -cos γ = -(-4/√65) = 4/√65
cos (α + β) = 4/√65 → sin (α + β) = 7/√65
tan (α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)
tan (α + β) = (7/√65) / (4/√65)
tan (α + β) = 7/4
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
(1 - tan α tan β) . tan (α + β) = tan α + tan β
(1 - tan α tan β) . 7/4 = 7/6
(1 - tan α tan β) = 2/3
tan α tan β = 1 - 2/3 = 1/3
Jadi, tan α tan β = 1/3
Tentukan nilai eksak dari sin 75°
Jawab :
sin 75° = sin (30° + 45°)
sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2
sin 75° = ¼√2 + ¼√6
sin 75° = ¼(√2 + √6)
cos (α + β) dan cos (α - β)
Rumus cos (α + β) dan cos (α - β) sanggup kita tentukan dengan cara yang hampir sama menyerupai rumus sinus diatas. Namun, alasannya rumus sinus sudah kita peroleh, akan lebih gampang kalau kita gunakan konsep sudut kekerabatan kuadran I.cos (α + β) = sin (90° - (α + β))
cos (α + β) = sin ((90° - α) - β)
cos (α + β) = sin (90° - α) cos β - cos (90° - α) sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Jika β diganti dengan -β, maka
cos (α + (-β)) = cos α cos (-β) - sin α sin (-β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β - sin α (-sin β)
cos (α + (-β)) = cos α cos β + sin α sin β
Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi cosinus sebagai berikut
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Contoh 2
Tentukan nilai eksak dari cos 105°
Jawab :
cos 105° = cos (60° + 45°)
cos 105° = cos 60° cos 45° - sin 60° sin 45°
cos 105° = ½ . ½√2 - ½√3 . ½√2
cos 105° = ¼√2 - ¼√6
cos 105° = ¼(√2 - √6)
tan (α + β) dan tan (α - β)
Berdasarkan identitas rasio, tan θ = \(\mathrm{\frac{sin\,\theta }{cos\,\theta }}\), akibatnyatan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,(\alpha +\beta )}{cos\,(\alpha +\beta )}}\)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{sin\,\alpha \,cos\,\beta \,+\,cos\,\alpha \,sin\,\beta }{cos\,\alpha \,cos\,\beta \,-\,sin\,\alpha \,sin\,\beta }\times { \frac{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta} }{ \frac{1}{cos\,\alpha \,cos\,\beta }}}}\)
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
Jika β diganti dengan -β, maka
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,(-\beta) }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,(-\beta) }}\)
tan (α + (-β)) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi tangen sebagai berikut
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
tan (α - β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
Contoh 3
Tentukan nilai eksak dari tan 15°
Jawab :
tan 15° = tan (45° - 30°)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{tan\,45^{\circ}\,-\,tan\,30^{\circ}}{1\,+\,tan\,45^{\circ}\,tan\,30^{\circ}}}\)
tan 15° = \(\mathrm{\frac{1\,-\,\frac{\sqrt{3}}{3}}{1\,+\,1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{\color{Red} \;\;\times \frac{3}{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,+\,\sqrt{3}}\;\; {\color{Red}\times \frac{3\,-\,\sqrt{3}}{3\,-\,\sqrt{3}}}\)
tan 15° = \(\frac{12\,-\,6\sqrt{3}}{6}\)
tan 15° = 2 - √3
Kesimpulan
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin βsin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
tan (α - β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,-\,tan\,\beta }{1\,+\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
Latihan Soal
Berikut beberapa teladan soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.Latihan 1
Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α ialah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α - β) !
Jawab :
α lancip berarti α berada di kuadran I.
β tumpul berarti β berada di kuadran II.
cos α = 3/5 → sin α = 4/5
sin α bernilai konkret alasannya α berada di kuadran I.
sin β = 5/13 → cos β = -12/13
cos β bernilai negatif alasannya β berada di kuadran II.
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α - β) = 4/5 . (-12/13) - 3/5 . 5/13
sin (α - β) = -48/65 - 15/65
sin (α - β) = -63/65
Latihan 2
Diketahui A, B dan C ialah sudut-sudut suatu segitiga. Jika tan A = 1/3 dan tan B = 1/2, tentukan nilai dari cos C !
Jawab :
tan A = 1/3 → sin A = 1/√10 dan cos A = 3/√10
tan B = 1/2 → sin B = 1/√5 dan cos B = 2/√5
A + B + C = 180°
C = 180° - (A + B)
cos C = cos (180° - (A + B))
cos C = -cos (A + B)
cos C = -(cos A cos B - sin A sin B)
cos C = -(3/√10 . 2/√5 - 1/√10 . 1/√5)
cos C = -(6/√50 - 1/√50)
cos C = -5/√50
cos C = -\(\frac{1}{2}\)√2
Latihan 3
Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !
Jawab :
Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°
cos (P + Q) = 2/3
cos (90° + Q) = 2/3
cos 90° cos Q - sin 90° sin Q = 2/3
0 . cos Q - 1 . sin Q = 2/3
0 - sin Q = 2/3
sin Q = -2/3
P + Q + R = 180°
90° + Q + R = 180°
R = 90° - Q
cos R = cos (90° - Q) = sin Q
diperoleh cos R = sin Q = -2/3
Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3
Latihan 4
Diketahui A - B = 30° dengan sudut A dan B lancip. Jika sin A cos B = 7/10, tentukan nilai sin (A + B) !
Jawab :
Karena A - B = 30°, maka
sin (A - B) = sin 30° = 1/2
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
1/2 = 7/10 - cos A sin B
cos A sin B = 7/10 - 1/2 = 1/5
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A + B) = 7/10 + 1/5
sin (A + B) = 9/10
Jadi, sin (A + B) = 9/10
Latihan 5
Diketahui α, β dan γ ialah sudut-sudut suatu segitiga. Jika cos γ = -4/√65 dan tan α + tan β = 7/6, tentukan tan α tan β !
Jawab :
γ = 180° - (α + β)
cos γ = cos(180° - (α + β)) = -cos (α + β)
Jadi, cos (α + β) = -cos γ = -(-4/√65) = 4/√65
cos (α + β) = 4/√65 → sin (α + β) = 7/√65
tan (α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)
tan (α + β) = (7/√65) / (4/√65)
tan (α + β) = 7/4
tan (α + β) = \(\mathrm{\frac{tan\,\alpha \,+\,tan\,\beta }{1\,-\,tan\,\alpha \,tan\,\beta }}\)
(1 - tan α tan β) . tan (α + β) = tan α + tan β
(1 - tan α tan β) . 7/4 = 7/6
(1 - tan α tan β) = 2/3
tan α tan β = 1 - 2/3 = 1/3
Jadi, tan α tan β = 1/3
0 Response to "Rumus Trigonometri Jumlah Dan Selisih Dua Sudut"
Posting Komentar