Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Pola Soal
Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari yakni kebijaksanaan matematika. Ilmu ini menggabungkan ilmu kebijaksanaan dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan merupakan landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan. Mempelajari ilmu ini sangat penting alasannya menjadi konsep dasar untuk memilih benar atau salahnya sebuah kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam bahan mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 bahan tersebut yakni pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat yang sanggup dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak sanggup dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat sanggup dinyatakan sebagai pernyataan jikalau sanggup ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan sebuah kalimat relative, maka tidak sanggup ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.
1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) merupakan pernyataan yang belum sanggup dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) yakni adalah pernyataan yang sudah sanggup dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
Contoh kebijaksanaan matematika:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut sanggup dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Agar lebih memahaminya, berikut contohnya,
Pernyataan relatif:
Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif alasannya tidak semua orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, alasannya sebagian orang menyampaikan erat alasannya sanggup ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana yakni pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, berikut pola untuk kalimat negasi.
Contoh Negasi:
Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.
Dalam kebijaksanaan matematika, aturan konjungsi yakni benar hanya jikalau kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jikalau salah satu pernyataan atau keduanya yakni salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan memakai tanda ^ yang berarti “dan”.
Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan klarifikasi dibawah ini.
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi memakai symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi yakni apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya yakni benar. Namun jikalau keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Berikut penjelasannya.
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Konsep implikasi yakni konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan konsep dari implikasi untuk dipahami.
Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jikalau pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi merupakan pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jikalau kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jikalau keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam kebijaksanaan matematika, untuk menyatakan biimplikasi yakni memakai symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. jikalau dan hanya jikalau q..”.
Agar lebih jelas, berikut pembahasan singkatnya.
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Setelah mengetahui bahan dasar mengenai kebijaksanaan matematika, selanjutnya yakni mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya yakni dua pernyataan beragam yang berbeda namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam kebijaksanaan matematika yakni “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:
Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡ p ˅ q
Ingkaran Disjungsi: (p ˅ q) ≡ p ˄ q
Ingkaran Implikasi: (p ⇒ q) ≡ p ^ q
Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi merupakan pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih gampang dalam pemahamannya, berikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya yakni q⇒p
Inversnya yakni p⇒ q
Sedangkan untuk kontraposisinya yakni q⇒ p
Kuantor pernyataan merupakan sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum yakni pernyataan yang memakai “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang dipakai yakni x.
Contoh:
Pernyataan “semua bunga yakni indah”. Maka notasinya yakni (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus yakni pernyataan yang memakai “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang dipakai yakni Ǝx.
Contoh:
Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya yakni (Ǝx),Jx
Sama menyerupai pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini yakni bahwa negasi dari kuantor universal yakni kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai pola adalah:
p : semua bunga yakni indah
p : semua bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan merupakan bahan terakhir dalam kebijaksanaan matematika. Kesimpulan sanggup ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melaksanakan penarikan kesimpulan.
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jikalau diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya yakni q.
Contoh:
Premis 1: Jika animo semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p
Contoh:
Premis 1: Jika animo cuek tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang animo dingin.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
Contoh:
Premis 1: Jika animo panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika animo panas tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas dibutuhkan sanggup membantu dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu kebijaksanaan matematika sering dipakai dalam metode penelitian dan acara akademik lainnya.
Sumber http://1rumusmatematika.blogspot.com
Ada setidaknya 11 macam bahan mengenai logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 bahan tersebut yakni pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pernyataan
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat yang sanggup dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak sanggup dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat sanggup dinyatakan sebagai pernyataan jikalau sanggup ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan sebuah kalimat relative, maka tidak sanggup ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.
1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) merupakan pernyataan yang belum sanggup dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
Contoh kebijaksanaan matematika:
Penyataan terbuka: Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).
2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) yakni adalah pernyataan yang sudah sanggup dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
Contoh kebijaksanaan matematika:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut sanggup dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif, Pernyataan ini merupakan pernyataan yang sanggup benar namun juga salah.
Agar lebih memahaminya, berikut contohnya,
Pernyataan relatif:
Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif alasannya tidak semua orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, alasannya sebagian orang menyampaikan erat alasannya sanggup ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi atau ingkaran
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana yakni pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, berikut pola untuk kalimat negasi.
Contoh Negasi:
Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.
Pernyataan Majemuk
Pernyataan beragam dalam kebijaksanaan matematika terdiri atas konjungsi , disjungsi , implikasi , dan biimplikasi dibawah ini kami beri penjelasannya masing-masing:Konjungsi
Dalam kebijaksanaan matematika, aturan konjungsi yakni benar hanya jikalau kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jikalau salah satu pernyataan atau keduanya yakni salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan memakai tanda ^ yang berarti “dan”.
Tabel Kebenaran Konjungsi
p | q | P ^ q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p dan q yakni benar |
B | S | S | Jika p benar dan q salah maka p dan q yakni salah |
S | B | S | Jika p salah dan q benar maka p dan q yakni salah |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p dan q yakni salah |
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Disjungsi
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi memakai symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi yakni apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya yakni benar. Namun jikalau keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Tabel Kebenaran Disjungsi
p | q | P v q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p atau q yakni benar |
B | S | B | Jika p benar dan q salah maka p atau q yakni benar |
S | B | B | Jika p salah dan q benar maka p atau q yakni benar |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p atau q yakni salah |
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Implikasi
Konsep implikasi yakni konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan konsep dari implikasi untuk dipahami.
Tabel Kebenaran Implikasi
p | q | p => q | Logika matematika |
B | B | B | Jika awalnya BENAR kemudian balasannya BENAR maka dianggap BENAR |
B | S | S | Jika awalnya BENAR kemudian balasannya SALAH maka dianggap SALAH |
S | B | B | Jika awalnya SALAH kemudian balasannya BENAR maka dianggap BENAR |
S | S | B | Jika awalnya SALAH kemudian balasannya SALAH maka dianggap BENAR |
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jikalau pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi
Biimplikasi merupakan pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jikalau kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jikalau keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam kebijaksanaan matematika, untuk menyatakan biimplikasi yakni memakai symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. jikalau dan hanya jikalau q..”.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p | q | p ó q | Logika matematika |
B | B | B | P yakni BENAR jikalau dan hanya jikalau q yakni BENAR (dianggap benar) |
B | S | S | P yakni BENAR jikalau dan hanya jikalau q yakni SALAH (dianggap salah) |
S | B | S | P yakni SALAH jikalau dan hanya jikalau q yakni BENAR (dianggap salah) |
S | S | B | P yakni SALAH jikalau dan hanya jikalau q yakni SALAH (dianggap benar) |
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Setelah mengetahui bahan dasar mengenai kebijaksanaan matematika, selanjutnya yakni mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya yakni dua pernyataan beragam yang berbeda namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam kebijaksanaan matematika yakni “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:
Ingkaran Pernyataan Majemuk
Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡ p ˅ q
Ingkaran Disjungsi: (p ˅ q) ≡ p ˄ q
Ingkaran Implikasi: (p ⇒ q) ≡ p ^ q
Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)
Konvers, invers, dan kontraposisi
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi merupakan pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih gampang dalam pemahamannya, berikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya yakni q⇒p
Inversnya yakni p⇒ q
Sedangkan untuk kontraposisinya yakni q⇒ p
Kuantor pernyataan
Kuantor pernyataan merupakan sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum yakni pernyataan yang memakai “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang dipakai yakni x.
Contoh:
Pernyataan “semua bunga yakni indah”. Maka notasinya yakni (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus yakni pernyataan yang memakai “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang dipakai yakni Ǝx.
Contoh:
Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya yakni (Ǝx),Jx
Ingkaran dari pernyataan kuantor
Sama menyerupai pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini yakni bahwa negasi dari kuantor universal yakni kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai pola adalah:
p : semua bunga yakni indah
p : semua bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan
Penarikan kesimpulan merupakan bahan terakhir dalam kebijaksanaan matematika. Kesimpulan sanggup ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melaksanakan penarikan kesimpulan.
Modus ponens
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jikalau diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya yakni q.
Contoh:
Premis 1: Jika animo semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Modus Tollens
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p
Contoh:
Premis 1: Jika animo cuek tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang animo dingin.
Silogisme
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
Contoh:
Premis 1: Jika animo panas tiba, hutan akan kekeringan.
Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika animo panas tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas dibutuhkan sanggup membantu dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu kebijaksanaan matematika sering dipakai dalam metode penelitian dan acara akademik lainnya.
0 Response to "Logika Matematika - Rangkuman Materi, Tabel Kebenaran & Pola Soal"
Posting Komentar