Program Linear

Pengertian Program Linear
Program Linear adalah suatu metode persamaan dan pertidak samaan linear yang di aplikasikan kedalam bentuk kehidupan nyata.
Biasanya Program Linear ini dipakai untuk mencari efesiensi-efesiensi di bidang bisnis, menyerupai dalam pembangunan rumah mengenai jumlah maksimal materi bangunan yang harus di beli dan sebagainya.

Namun sebagai dasar untuk mempelajari Program Linear ini kita harus mempelajari dasar-dasarnya sebagai berikut :

A. Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Satu Variabel
Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Satu Variabel ini biasanya dipelajari di smp.
Contoh :
1. x > 0. mempunyai nilai persamaan x = 0. Maka tempat himpunan penyelesaian (Hp) yakni :

2. y > 0. mempunyai nilai persamaan y = 0. Maka tempat Hpnya yakni :

3. x < 2. mempunyai persaman x = 2. Maka tempat Hpnya yakni :

4. x > -1. mempunyai persamaan x = -1. Maka tempat Hpnya yakni :

5. 2 < x < 4. mempunyai persamaan x = 2 dan x = 4. Maka tempat Hpnya:

6. -1 < x < 2. mempunyai persamaan x = -1 dan x = 2. Maka Hpnya yakni :

B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dua Variabel
Persamaan Linear dua variabel yakni persamaan yang mempunyai dua variabel misal x dan y.
Bentuk persamaan linear dua variabel : ax + by < c, ax + by < c, ax + by > c, dan ax + by > c.

Dalam menentuka Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dua Variabel, ada beberapa langkah yang harus kita lakukan, yakni sebagai berikut :

Langkah-Langkah Menentukan Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dua Variabel :
1. Gambar gari ax + by = c pada bidang cartesius dengan mencari titik-titik potong gerafik dengan sumbu x ( y = 0 ) dan sumbu y ( x = 0 ).

2. Ambil sembarang titik P(x₁, y₁) yang bukan terletak pada garis tersebut. kemudian dihitung nilai dari ax₁+ by₁. Nilai ax₁+ by₁ dibandingkan dengan nilai c.

3. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + by < c, ditentukan sebagai berikut :
- kalau tempat ax₁+ by₁ < c. Maka tempat yang memuat P yakni tempat himpunan penyelesaian
- kalau tempat ax₁+ by₁ > c. Maka tempat yang memuat P yakni bukan tempat humpunan penyelesaian.

4. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ax + by > c, ditentukan sebagai berikut :
- kalau tempat ax₁+ by₁ > c. Maka tempat yang memuat P yakni tempat himpunan penyelesaian
- kalau tempat ax₁+ by₁ < c. Maka tempat yang memuat P yakni bukan tempat humpunan penyelesaian.

5. Daerah yang bukan merupakan penyelesaian diberikan arsiran, Sehingga tempat penyelesaian ialah tempat tanpa arsiran. Hal ini yang akan mempermudah kita untuk mengenal mana tempat yang merupakan Hp.

6. Daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan yang memuat tanda sama dengan digambarkan dengan garis penuh, sedangkan darah penyelesaian pertidaksamaan yang tidak memuat tanda samaa dengan digambar dengan garis putu-putus.

Contoh :
Tentukan tempat himpunan penyelesaian dari 2x + y < 4 !
Jawab
2x + y < 4
Untuk mencari titik potong sumbu x dan subu y maka kita gunakan tabel berikut :

	x	y
x	2	0
y	0	4

Dengn demikian titik potong dengan sumbu x dan y yakni (2,0) dan (0,4)

Kemudian ambil smebarang titik P(0,0) sebagai titik uji pada 2x + y < 4 dan di peroleh 2(0) + 0 < 4.

Maka Hpnya yakni :

C. Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal)

Pengertian Model Matematika 

Model Matematika adalah suatu bentuk kalima matematika yang palin sederhana  dari sebuah soal dongeng atau biasanya disebut kalimat ekspresi matematika.

Mengubah Kalimat Verbal Menjadi Model Matematika dalam Bentuk Sitem Pertidak Samaan.

Dalam perogram linear untuk mengubah kalimat ekspresi menjadi model matematika kita gunakan tebel berikut :

Variabel	Variabel 1 (x)	Variabel 2 (y)	Persediaan
Variabel 1
Variabel 2
Variabel 3

Contoh :

Untuk menciptakan roti A 200 gram tepung dan 25 gram mentega, Sedangkan untuk roti B di perlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tepung yang tersedia hanya 4 kg dan mentega hanya 1,2 kg. Jika harga roti A Rp 400,00 dan roti B Rp. 500,00. Buatlah model mateatikanya!

Jawab : 

Misalkan banyak roti A = x dan roti B = y, berarti variabel yang lain yakni tepung dan mentega. Sehingga tabelnya yakni :

Variabel	Roti A (x)	Roti B (y)	Persediaan
Tepung	200 gram	100 gram	4000 gram
Mentega	25 gram	50 gram	1200 gram

Tepung dan mentega paling banyak tersedia masing-masing 4 kg = 4000 gram, 1,2 kg = 1200gram, jadi tanda pertidak samaan yakni <, Maka dari tabel di atas sanggup kita buat kebentuk pertidaksamaan menjadi :

200x + 100y < 4000, maka apa bila di sederhanakan menjadi 2x + y < 40 (1)

25x+ 50y < 1200,  maka apabila di sederhanakan menjadi x + 2y < 48 (2)

Karena x dan ya yakni bilangan lingkaran bukan negatif maka :

x > 0 (3)

y > 0 (4)

keempat persamaan di atas merupakan merupakan persyaratan yang harus di penuhi disebut Fungsi Kendala. Harga roti A Rp. 500,00 dan roti B Rp.400,00, maka hasil penjualan sanggup dirumuskan dengan Z = 400x + 500y  : Z disebut fungsi objektif atau fungsi target yang sanggup dimaksimumkan atau diminimumkan.

D. Nilai Optimum Dari Sistem Persamaan Linear
Hal terpenting dalalm kasus Program Linear adalah mengubah duduk kasus ekspresi kedalam bentuk model matematika yang merupakan dari penyajian dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan gampang dimengerti.

Langkah-Langkah Mencari Nilai Optimum :
1. Udah lah duduk kasus ekspresi kedalam model matematika (dalam bentuk sistem pertidaksamaan
2. Tentukan himpunan penyelesaian (daerah feasible)
3. Tentukan titik pojok pada dearah feasible
4. Hitung nilai bentuk objektif untuk setiap titik pojok dalam tempat feasible.
5. Daerah hasil pada langkah ke-4 nilai maksimum atau minimumnya sanggup ditetapkan.

Contoh :
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari Z = 5x + 3y, dengan syarat :
x + 2y < 8, x + y < 6, x > 0, dan y > 0.

Jawab :
dikaeranakan soal sudah merupakan kalimat matematika maka kita eksklusif mencari tempat himpunan penyelesaiannya pada digram cartesius.
Untuk mencari titik potong pertidaksamaan x + 2y < 8 dengan sumbu x dan subu y maka kita ubah pertidak samaan ke dalam persamaan menjadi x + 2y = 8, maka titiknya :

	x	y
x	8	0
y	0	4

(8,0) dan (0,4)

Kemudian Untuk mencari titik potong pertidaksamaan x + y < 6 dengan sumbu x dan subu y maka kita ubah pertidak samaan ke dalam persamaan menjadi x + y = 6, maka titiknya :

	x	y
x	6	0
y	0	6

(6,0) dan (0,6)

kemudian gambarnya grafiknya yakni :

Daerah Hp dari x + 2y < 8, x + y < 6, x > 0, dan y > 0

cara mencari titik potongnya yaitu dengan cara meng eleminasi dan mensubstitusi persamaan x + 2y = 8 dan x + y = 6, perhatikan :

 x + 2y = 8

 x +   y = 6-

         y = 2

kita ambil persamaan  x + 2y = 8 untuk mensubstitusi.

x + 2y = 8

x + 2(2) = 8

x + 4 = 8, untuk menyederhanakan kita kurangi kedua ruas dengan 4

x + 4 - 4 = 8 - 4

x = 4

Maka kita peroleh titik potongnya yaitu (4,2)

kemudian kita uji tiap titik pojok untuk mencari nilai maksimumnya, lihat tabel di bawah ini :

Titik	x	y	5x + 3y
0 (0,0)	0	0	0
A(6,0)	6	0	30
B(4,2)	4	2	26
C(0,4)	0	4	12

Kaprikornus nilai maksimumnya yakni 30 terjadi untuk x = 6 dan y = 0

E. Garis Selidik 

Garis Selidik ialah garis yang dipakai untuk menilik Nilai Optimum (maksimum dan minimum) yang diperoleh dari fungsi target atau fungsi objektif.

Dalam mencari nilai optimum bentuk objektif dari himpunan penyelesaian selain dengan memakai metode titik pojok sanggup juga dicari dengan garis selidik.

Langkah-Langkah Mencari Nilai Optimum Dengan Menggunakan Garis Selidik
1. Buatlah garis ax + by = k, dimana ax + by merupakan bentuk obektif yang dicari nilai optimumnya. Untuk mempermudah ambil k = ab

2. Buatlah garis-gairs sejajar ax + by = k, yaitu dengan cara mengambil k yang berbeda atau menggeser garis ax + by = k, ke kiri atau ke kanan.
- Jika ax + by = k_1, adalah garis paling kiri pada tempat himpunan penyelesaian yang melalui titik (x_1, y_1,),  k₁ =  ax₁ +  by₁ maka merupakan nilai minimum

- Jika ax + by = k_2, adalah garis paling kanan pada tempat himpunan penyelesaian yang melalui titik (x_2, y_2,),  k₁ =  ax₂ +  by₂ maka merupakan nilai maksimum.

Contoh :
Dengan memakai garis selidik tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif  Z = 2x + 3y pada tempat feaasible yang ditunjukan pada gambar dibawah ini :

Jawab :
Untuk memnentukan maksimum dan minimum, yang pertama dilakukan yakni dengan menciptakan persamaan garis dari fungsi objektif yang diketahui yaitu 2x + 3y = 6, dan kita namai dengan garis g.
perhatikan gambar dibawah ini :

perhatikan gambar diatas !
geserlah garis g sehingga memotong tempat feasible di titik yang paling kiri, yaitu garis g₁ , yang merupakan garis yang seajar dengan g dan sempurna melalui titik (1,2). Dengan demikian nilai minimum Z yakni k₁ = 2(1) + 3(2) = 8, sedangkan garis g₂ merupakan garis yang paling kanan dan sempurna melalui titik (5,4). Dengan demikian nilai maksimum Z yakni k₂ = 2(5) + 3(4) = 22.

Nah demikian materi wacana Program Linear
Apabila ada yang ingin ditanyakan atau disampaikan kepada penulis silahkan komentar saja ya!
Sekian dari saya
Saya sarankan untuk membaca :

• Cara Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variable
• Cara Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik  
• Cara Menentukan Nilai Optimum Dengan Uji Titik Pojok
• Cara mengubah Soal Cerita Menjadi Model Matematika
• Contoh Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

assalamualaikum wr. wb.

Sumber http://matematikaakuntansi.blogspot.com

Berlangganan Informasi Terbaru: