Pembahasan Sbmptn 2017 Tkpa 226 Matematika Dasar

Pembahasan Soal SBMPTN tahun 2017 untuk Tes Kemampuan Dasar dan Potensi Akademik (TKPA) instruksi naskah 226 mata uji Matematika Dasar.

Materi uji mencakup : Matriks, Pertidaksamaan nilai mutlak, Geometri datar (segitiga), Aljabar fungsi (domain), Statistika, Barisan aritmatika, Aplikasi turunan, Barisan/deret geometri, Fungsi komposisi (range), Dimensi tiga, SPLDV, Transformasi geometri, Integral tak tentu, Limit tak tentu, Kaedah pencacahan.


 1.  SBMPTN 2017  Matriks
Misalkan A^T ialah transpos matriks A. Jika \(\mathrm{A=\begin{pmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{pmatrix}}\) sehingga \(\mathrm{A^{T}A=\begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{pmatrix}}\), maka nilai x² - x ialah ...
(A)   0           
(B)   2           
(C)   6
(D)   12
(E)   20

 Pembahasan :
\(\mathrm{A^{T}A=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}}\)

\(\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
2 & {\color{white} -}0\\
\mathrm{x} & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & \mathrm{{\color{white} -}x}\\
0 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
4 & \mathrm{2x}\\
\mathrm{2x} & \mathrm{x^{2}}+4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 8
\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas diperoleh
2x = 4   →   x = 2
Jadi, (x² - x) = (2² - 2) = 2

Jawaban : B


 2.  SBMPTN 2017  Pertidaksamaan Nilai mutlak
Jika himpunan penyelesaian \(\mathrm{|2x-\mathit{a}|<5}\) adalah \(\left \{ \mathrm{x/-1<x<4} \right \}\), maka nilai a adalah ...
A.  -4                D.  3
B.  -3                E.  4
C.  -1

Pembahasan :
Untuk k konstan dan k > 0, berlaku :
| f(x) | < k   ⟺   -k < f(x) < k

Berdasarkan sifat diatas maka
| 2x - a | < 5   ⟺  -5 < 2x - a < 5
| 2x - a | < 5   ⟺  a - 5 < 2x < a + 5
| 2x - a | < 5   ⟺  \(\frac{a-5}{2}\) < x < \(\frac{a+5}{2}\)

Karena -1 < x < 4 maka haruslah
\(\frac{a-5}{2}\) = -1  atau  \(\frac{a+5}{2}\) = 4
Dari persamaan diatas diperoleh a = 3.

Jawaban : D



 3.  SBMPTN 2017  Geometri Datar : Segitiga

Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga bab yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, dan M, N. Jika luas ΔABC ialah x cm², maka luas ΔKMN ialah ... cm².
(A)   \(\mathrm{\frac{x}{3}}\)
(B)   \(\mathrm{\frac{2x}{9}}\)
(C)   \(\mathrm{\frac{x}{9}}\)
(D)   \(\mathrm{\frac{x}{18}}\)
(E)   \(\mathrm{\frac{x}{36}}\)

Pembahasan :
L ΔABC = \(\frac{1}{2}\)(BC)(AB) = x
MN = \(\frac{1}{3}\)BC  dan  KB = \(\frac{2}{3}\)AB

L ΔKMN = \(\frac{1}{2}\)(MN)(KB)
L ΔKMN = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{3}\)BC) (\(\frac{2}{3}\)AB)
L ΔKMN = \(\frac{2}{9}\) . \(\frac{1}{2}\)(BC)(AB)
L ΔKMN = \(\frac{2}{9}\) . x
L ΔKMN = \(\mathrm{\frac{2x}{9}}\)

Jawaban : B



 4.  SBMPTN 2017  Aljabar Fungsi : Domain
Jika f(x) = x² - 1 dan g(x) = \(\mathrm{\frac{x\,-\,2}{x\,+\,1}}\), maka kawasan asal fungsi f.g ialah ...
(A)   {x/ -∞ < x < ∞}
(B)   {x/ x ≠ -1} 
(C)   {x/ x ≠ 2}
(D)   {x/ x < -1}
(E)   {x/ x ≥ 2}

Pembahasan :
Misalkan kawasan asal (domain) fungsi f ialah D_f dan domain fungsi g ialah D_g. Jika domain fungsi f.g dan f/g berturut-turut ialah D_f.g dan D_f/g, maka :
D_f.g = D_f ∩ D_g
D_f/g = D_f ∩ D_g ∩ g ≠ 0

f(x) = x² - 1   →   D_f = {x ∈ ℝ}
g(x) = \(\mathrm{\frac{x\,-\,2}{x\,+\,1}}\)   →   D_g = {x ≠ -1}

D_f.g = D_f ∩ D_g
D_f.g = {x ∈ ℝ} ∩{x ≠ -1}
D_f.g = {x ≠ -1}

Jawaban : B



 5.  SBMPTN 2017  Statistika
Diketahui median dan rata-rata berat tubuh 5 balita ialah sama. Setelah ditambahkan satu data berat tubuh balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat tubuh tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat tubuh antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 ialah ... kg.
(A)   4
(B)   \(\frac{9}{2}\)
(C)   5
(D)   6
(E)   \(\frac{13}{2}\)

Pembahasan :
Misalkan berat tubuh 5 balita setelah diurutkan ialah a, b, c, d, e dan berat tubuh balita terakhir yang ditambahkan ialah x.

Median dari 5 data a, b, c, d, e ialah c.
Rata-rata berat tubuh ke-5 balita ialah \(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}\).
Rata-rata berat tubuh setelah ditambahkan 1 balita yang beratnya x ialah \(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e+x}{6}}\).

Karena median dan rata-rata ke-5 balita sama, maka :
c =  \(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}\)  atau   a + b + c + d + e = 5c

Karena rata-rata meningkat 1 kg setelah ditambahkan 1 balita, diperoleh persamaan
\(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e}{5}}\) + 1 = \(\mathrm{\frac{a+b+c+d+e+x}{6}}\)
c + 1 = \(\mathrm{\frac{5c+x}{6}}\)
6c + 6 = 5c + x
x = c + 6
Karena x = c + 6, maka x > c. Akibatnya, x mustahil menempati urutan 1, 2 atau 3.

Agar median setelah ditambahkan 1 data nilainya tetap, maka berat tubuh urutan ke-3, yaitu c harus sama dengan berat tubuh urutan ke-4, dengan alasan median dari 6 data dihitung dari \(\mathrm{\frac{U_{3}+U_{4}}{2}}\). Akibatnya, x bukan urutan ke-4 alasannya ialah x ≠ c. Jadi, urutan ke-4 ialah d, dengan d = c.

Dengan demikian, selisih berat tubuh antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 ialah x - d = (c + 6) - (c) = 6.

Jawaban : D



 6.  SBMPTN 2017  Barisan Aritmatika
Suku ke-11 suatu barisan aritmatika sama dengan empat kali suku ke-16. Jika beda barisan tersebut ialah -3, maka empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke...
(A)   1
(B)   3
(C)   5
(D)   7
(E)   9

Pembahasan :
Rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah
U_n = a + (n - 1)b
a = suku pertama
b = beda

Diketahui suku ke-11 sama dengan empat kali suku ke-16, kita tulis
U₁₁ = 4 U₁₆
a + 10b = 4(a + 15b)
a + 10b = 4(a + 13b + 2b)
a + 10b = 4(U₁₄  + 2b)
a + 10b = 4U₁₄ + 8b
a + 2b = 4U₁₄
U₃ = 4U₁₄
Jadi, empat kali suku ke-14 sama dengan suku ke-3

Jawaban : B



 7.  SBMPTN 2017  Aplikasi Turunan
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada dikala panen dari bak tersebut ialah (6 - 0,02x) kg, dengan x menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada dikala panen yang mungkin ialah ... (kg)
(A)   400
(B)   420
(C)   435
(D)   450
(E)   465

Pembahasan :
Misalkan total bobot semua ikan ialah Y. Jika x menyatakan banyak ikan yang dipelihara, maka rata-rata bobot ikan per ekor ialah \(\mathrm{\frac{Y}{x}}\). Karena rata-rata bobot ikan per ekor ialah (6 - 0,02x), maka :
\(\mathrm{\frac{Y}{x}}\) = (6 - 0,02x)
Y = (6 - 0,02x)x
Y = 6x - 0,02x²

Total bobot semua ikan akan maksimum jikalau Y' = 0
6 - 0,04x = 0  (kali 100)
600 - 4x = 0
⇒ x = 150

Jadi, maksimum total bobot semua ikan pada dikala panen yang mungkin adalah
Y = 6(150) - 0,02(150)² = 450 kg.

Jawaban : D



 8.  SBMPTN 2017  Barisan dan Deret Geometri
Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri ialah 1/32. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 ialah 15, maka jumlah 3 suku pertama barisan tersebut ialah ...
(A)   30
(B)   40
(C)   50
(D)   60
(E)   70

Pembahasan :
Rumus suku ke-n barisan geometri adalah
U_n = ar^n-1
a = suku pertama
r = rasio

Diketahui  \(\mathrm{\frac{U_{6}}{U_{1}}=\frac{1}{32}}\), sanggup ditulis
\(\mathrm{\frac{ar^{5}}{a}=\frac{1}{32}}\)
\(\mathrm{r^{5}=\left (\frac{1}{2}  \right )^{5}}\)
⇒ r = \(\frac{1}{2}\)

Diketahui  U₃ + U₄ = 15, sanggup ditulis
ar² + ar³ = 15
a(\(\frac{1}{2}\))² + a(\(\frac{1}{2}\))³ = 15    (kali 8)
2a + a = 120
⇒ a = 40

Diperoleh suku pertama 40 dan rasio \(\frac{1}{2}\), sehingga barisannya adalah
40, 20, 10, ...

Jadi, jumlah 3 suku pertama adalah
40 + 20 + 10 = 70

Jawaban : E



 9.  SBMPTN 2017  Fungsi Komposisi : Range
Jika f(x) = 1 - x² dan g(x) = \(\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}\), maka kawasan hasil fungsi komposisi fog ialah ...
(A)   {y/ -∞ < y < ∞}
(B)   {y/ y ≤ -1  atau  y ≥ 1}
(C)   {y/ y ≤ 5}
(D)   {y/ y ≤ 1}
(E)   {y/ 1 ≤ y ≤ 1}

Pembahasan :
Untuk memilih kawasan hasil (range) fungsi komposisi fog, sanggup kita mulai dengan memilih domainnya terlebih dahulu.
fog(x) = f(\(\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}\))
fog(x) = 1 - (\(\sqrt{5\,-\,\mathrm{x}}\))²    →   D_fog = {5 - x ≥ 0} = {x ≤ 5}
fog(x) = 1 - (5 - x)
fog(x) = x - 4

Catatan : Domain fungsi komposisi diperoleh sebelum fungsi disederhanakan (penyederhanaan yang dimaksud ialah penyederhanaan yang merubah domain fungsi, menyerupai menghilangkan tanda akar atau mencoret penyebut). Jika ingin memilih domain setelah fungsi komposisi disederhanakan, maka domain yang diperoleh harus diiris kembali dengan domain fungsi input (untuk perkara diatas fungsi inputnya ialah g(x)).

Diatas telah diperoleh y = fog = x - 4, dengan domain x ≤ 5. Untuk kawasan hasilnya, sanggup ditentukan dengan memanipulasi domain fog.
x ≤ 5  (kurangkan kedua ruas dengan 4)
x - 4 ≤ 5 - 4
x - 4 ≤ 1
y ≤ 1   (karena y = x - 4)

Jawaban : D



 10.  SBMPTN 2017  Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P dan Q berturut-turut ialah titik tengah HG dan BC. Jika panjang rusuk kubus tersebut ialah 4 cm, maka jarak P ke Q ialah ... cm.
(A)   2√3
(B)   2√6
(C)   6√2
(D)   6√3
(E)   6√6

Pembahasan :
Perhatikan gambar !

PR² = 4² = 16
RQ² = RC² + CQ² = 2² + 2² = 8

Perhatikan segitiga PRQ siku-siku di R.
PQ² = PR² + RQ²
PQ² = 16 + 8
PQ² = 24
PQ = √(24) = 2√6

Jawaban : B



 11.  SBMPTN 2017  SPLDV
Luas kawasan penyelesaian sistem pertidaksamaan
x + y ≤ 3, 3x + 2y ≥ 6, y ≥ 0 ialah ... satuan luas.
(A)   \(\frac{1}{2}\)
(B)   \(\frac{3}{4}\)
(C)   1
(D)   \(\frac{3}{2}\)
(E)   2

Pembahasan :
Sketsa terlebih dahulu kawasan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan diatas!

Daerah penyelesaiannya ialah segitiga arsiran dengan bantalan = 1 dan tinggi 3. Jadi, luas kawasan penyelesaiannya ialah \(\frac{1}{2}\) . 1 . 3 = \(\frac{3}{2}\).

Jawaban : D



 12.  SBMPTN 2017   Transformasi Geometri
Titik (1, 0) dipetakan dengan translasi \(\begin{pmatrix}
a\\ 2

\end{pmatrix}\) dan lalu dicerminkan terhadap garis \(\mathrm{x = 3}\) ke titik (6, 2). Peta titik (2, 1) di bawah transformasi yang sama ialah ...
(A)   (5, 3)
(B)   (6, 2)
(C)   (6, 3)
(D)   (7, 2)
(E)   (7, 3)

Pembahasan :
Peta titik (x, y) oleh translasi (a, b) ialah \(\begin{pmatrix}

 \mathrm{x+a}\\  \mathrm{y+b}

\end{pmatrix}\)
Peta titik (x, y) oleh pencerminan terhadap garis x = k ialah \(\begin{pmatrix}
\mathrm{2k-x}\\  \mathrm{y}

\end{pmatrix}\)

Berdasarkan sifat diatas maka :
Peta titik (1, 0) oleh translasi (a, 2) ialah \(\begin{pmatrix}
\mathrm{1+a}\\ \mathrm{0+2}

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathrm{1+a}\\ 2

\end{pmatrix}\).
Peta titik (1+a, 2) oleh pencerminan terhadap garis \(\mathrm{x = 3}\) ialah \(\begin{pmatrix}
\mathrm{2(3)-(1+a)}\\ \mathrm{2}

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathrm{5-a}\\ 2

\end{pmatrix}.\)
Diketahui hasil petanya ialah (6, 2), sehingga diperoleh persamaan \(\begin{pmatrix}
\mathrm{5-a}\\ 2

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6\\ 2

\end{pmatrix}\).
Dari persamaan diatas diperoleh
5 - a = 6
a = -1

Selanjutnya, akan ditentukan peta titik (2, 1) oleh transformasi yang sama, yaitu translasi (-1, 2) dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 3.

Peta titik (2, 1) oleh translasi (-1, 2) ialah \(\begin{pmatrix}
2+(-1)\\ 1+2

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\ 3

\end{pmatrix}\).
Peta titik (1, 3) oleh pencerminan terhadap garis x = 3 ialah \(\begin{pmatrix}
2(3)-1\\ 3

\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\ 3

\end{pmatrix}\).

Jawaban : A



 13.  SBMPTN 2017   Integral Tak Tentu
\(\int \mathrm{\frac{3(1\,-\,x)}{1\,+\,\sqrt{x}}\;dx=...}\)
(A)   3x - 2x√x + C
(B)   2x - 3x√x + C
(C)   3x√x - 2x + C
(D)   2x√x - 3x + C
(E)   3x + 2x√x + C

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\int \frac{3(1-x)}{1+\sqrt{x}}\;dx} & = \mathrm{3\int \frac{\left (1+\sqrt{x}  \right )\left ( 1-\sqrt{x} \right )}{1+\sqrt{x}}\;dx} \\
& = \mathrm{3\int (1-\sqrt{x})\;dx} \\
& = \mathrm{3\left ( x-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right )+C} \\
& = \mathrm{3x-2x^{\frac{3}{2}}+C} \\
& = \mathrm{3x-2x\sqrt{x}+C}
\end{align}\)

Jawaban : A



 14.  SBMPTN 2017   Limit Tak Tentu
Jika kurva f(x) = ax² + bx + c memotong sumby-y di titik (0, 1) dan \(\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{f(x)}{x\,-\,1}=-4}\), maka \(\frac{b\,+\,c}{a}=...\)
(A)   -1
(B)   -\(\frac{1}{2}\)
(C)   0
(D)   1
(E)   \(\frac{3}{2}\)

Pembahasan :
Karena kurva f(x) = ax² + bx + c memotong sumbu-y di titik (0, 1), maka c = 1.

Limit diatas merupakan bentuk limit tak tentu 0/0, sanggup kita identifikasi dari penyebutnya yang bernilai nol ketika x = 1, sedangkan limitnya ada, yaitu -4. Jadi, haruslah f(1) = 0.
f(1) = a(1)² + b(1) + 1 = 0  atau
a + b = -1   ............................................(1)

Dengan memakai hukum L'Hospital pada \(\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{\mathit{a}x^{2}+\mathit{b}x+\mathit{c}}{x\,-\,1}=-4}\) diperoleh
\(\mathrm{_{x \to 1 }^{lim}\;\frac{2\mathit{a}x+\mathit{b}}{1}=-4}\)
2a(1) + b = -4
2a + b = -4   ...........................................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh a = -3 dan b = 2.

Jadi, \(\frac{b\,+\,c}{a}\) = \(\frac{2\,+\,1}{-3}\) = -1

Jawaban : A



 15.  SBMPTN 2017   Kaedah Pencacahan
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
(A)   720
(B)   705
(C)   672
(D)   48
(E)   15

Pembahasan :
Banyak susunan dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan sanggup dihitung dari selisih banyaknya susunan bebas dengan banyaknya susunan setiap pemain dan pasangannya berdekatan.

Banyak susunan pemain dengan susunan bebas ialah 6! = 720.
Banyak susunan pemain dengan setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah
(A1 A2) (B1 B2) (C1 C2) = 3! . 2! . 2! . 2! = 48

Jadi, banyak susunan dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah
720 - 48 = 672

Jawaban : C


Sumber http://smatika.blogspot.com

Berlangganan Informasi Terbaru: