Contoh Soal Dan Pembahasan Barisan Dan Deret Aritmatika

Apa itu Barisan ?

Barisan yaitu suatu susunan bilangan yang dibuat berdasarkan suatu urutan tertentu.  Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

• 1, 2, 3, 4, 5,6,7  (Bilangan 1 yaitu suku pertama, bilangan 2 yaitu suku kedua dst)
• 2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 yaitu suku ketiga, bilangan 17 yaitu suku keenam).
• 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 yaitu suku kedua, bilangan 10 yaitu suku ketiga dst).

Sehingga terang bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang mempunyai contoh tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan contoh tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak sebagai suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U₃,…..U_n
maka : U₁ + U₂ + U₃ +… +U_n adalah deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + .U_n

2 + 4 + 6 + 8 +… + .U_n

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika yaitu barisan yang mempunyai nilai selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan b.

Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku berikutnya yaitu konstan. Dengan kata lain, kita hanya menambahkan nilai yang sama setiap waktu.

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Barisan tersebut mempunyai nilai beda 3 antara satu suku dengan suku berikutnya.

Secara umum, kita sanggup menulis barisan aritmatika tersebut :

{a, a+b, a+2b, a+3b, ... }

dimana:

• a yaitu suku pertama, 
• b yaitu nilai beda.

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = a + (n - 1)b
dimana :

• U_n: suku ke-n 
• a: suku pertama 
• b: nilai beda 
• n: banyak suku

2. Untuk mencari nilai beda :

b = U_n-U_(n-1)
dimana :

• b yaitu nilai beda
• U_n: suku ke-n 

3. Untuk mencari Suku Tengah 
Kita sanggup mencari suku tengah yang mempunyai n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana diketahui suku pertama dan suku terakhir, maka dipakai rumus :

U_t = a + U_n2
dimana :

• U_t adalah suku tengah
• a yaitu suku pertama
• U_n adalah suku ke-n (dalam hal ini bertindak sebagai suku terakhir)

Namun jikalau untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya: 

U_t = a + (n-1)b2 dimana :

• U_t adalah suku tengah
• a yaitu suku pertama
• n menyatakan banyaknya suku
• b menyatakan nilai beda

Apa itu Deret Aritmatika

Deret aritmatika yaitu jumlah dari barisan aritmatika yang biasa ditandai dengan tanda plus (+).

Contoh :

• 2 + 4 + 6 + 8 + 10
• 3 + 6 + 9 + 12 + 15

Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, dipakai rumus:

S_n = n2 (a+U_n)
atau
S_n = n2 (2a + (n-1)b) dimana :

• S_n menyatakan jumlah suku ke-n
• a yaitu suku pertama
• U_n menyatakan nilai suku ke-n
• b menyatakan nilai beda
• n menyatakan banyaknya suku

1. Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut yaitu 110 dan 150. Suku ke-30 barisan tersebut adalah

Pembahasan

Dari beberapa suku yang diketahui diperoleh persamaan yaitu :

(1) U4 = a + 3b = 110

(2) U9 = a + 8b = 150

     

Dengan dua persamaan di atas, kita sanggup memilih nilai suku pertama (a) dan beda (b) barisan aritmatika tersebut. Nilai a dan b sanggup ditentukan dengan metode eliminasi ataupun metode substitusi. Dengan metode substitusi, diperoleh :

a + 3b = 110 => a = 110 - 3b  => substitusi ke persamaan (2).

a + 8b = 150 

=> 110 - 3b + 8b = 150

=>  110 + 5b = 150

=>  5b = 40

=>  b = 8

Karena b = 8, maka a = 110 - 3(8) = 110 - 24 = 86.

Jadi, suku ke-30 barisan aritmatika tersebut yaitu :

U30 = a + 29b

=>  U30 = 86 + 29(8)

=>  U30 = 86 + 232

=>  U30 = 318 

2. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku keempat yaitu 7 dan jumlah suku keenam dan kedelapan yaitu 23. Besar suku keduapuluh yaitu ...

Pembahasan  Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut : 

(1) U4 = a + 3b = 7 

(2) U6 + U8 = (a + 5b) + (a + 7b) = 2a + 12b = 23 

      

Dengan memakai metode substitusi, diperoleh nilai suku pertama dan beda sebagai berikut : 

a + 3b = 7 => a = 7 - 3b => substitusi kepersamaan (2). 

2a + 12b = 23 

=> 2(7 - 3b) + 12b = 23 

=> 14 - 6b + 12b = 23 

=> 6b = 9 

=> b = 9/6 = 3/2 

       

Karena b = 3/2, maka a = 7 - 3(3/2) = (14 - 9)/2 = 5/2. 

Jadi, suku ke-20 barisan aritmatika tersebut yaitu : 

U20 = a + 19b 

=> U20 = 5/2 + 19(3/2) 

=> U20 = 5/2 + 57/2 

=> U20 = 62/2 = 31

3. Diketahui barisan aritmatika dengan U2 + U5 + U20 = 54. Suku ke-9 barisan tersebut adalah

Pembahasan
	U2 + U5 + U20 = 54
	=> (a + b) + (a + 4b) + (a + 19b) = 54
	=> 3a + 24b = 54
	=> a + 8b = 18
	Rumus untuk menghitung suku ke-9 yaitu sebagai berikut :
	U9 = a + 8b
	=> U9 = a + 8b = 18

4. Dalam suatu barisan aritmatika, jikalau U3 + U7 = 56 dan U6 + U10  = 86 , maka suku ke-2 barisan aritmatika tersebut sama dengan

Pembahasan Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :

U3 + U7 = 56 

=> (a + 2b) + (a + 6b) = 56 

=> 2a + 8b = 56 

=> a + 4b = 28

U6 + U10 = 86 => (a + 5b) + (a + 9b) = 86 => 2a + 14b = 86
	Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b sanggup dihitung dengan memakai metode substitusi sebagai berikut :
	a + 4b = 28 =>  a = 28 - 4b =>  substitusi ke persamaan (2).
	=>  a + 7b = 43
	=>  28 - 4b + 7b = 43
	=>  28 + 3b = 43
	=>  3b = 15
	=>  b = 5
	Karena b = 5, maka a = 28 - 4(5) = 28 - 20 = 8.
	Jadi, suku ke-2 barisan aritmatika tersebut yaitu :
	U2 = a + b
	=>  U2 = 8 + 5
	=>  U2 = 13

5.  Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n yaitu Un, diketahui U3 + U6 + U9 + U12 = 72. Maka Jumlah 14 suku pertama sama dengan

Pembahasan:
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika sanggup ditentukan dengan rumus berikut :
Sn = n/2 (a + Un)

Dengan :
Sn = jumlah n suku pertama
n = banyak suku
Un = suku ke-n
a = U1 = suku pertama.

Berdasarkan rumus di atas, maka jumlah 14 suku pertama sanggup dihitung dengan :

=> S14 = 14 / 2 (a + U14 ) 
=> S14 = 7 (a + U14 )
=> S14 = 7 (a + a + 13b)
=> S14 = 7 (2a + 13b)

	Sekarang, kita lihat apa yang akan kita peroleh dari persamaan yang diketahui pada soal.
	=> U3 + U6 + U9 +U12 = 72
	=>  a + 2b + a + 5b + a + 8b + a + 11b = 72
	=>  4a + 26b = 72
	=>  2a + 13b= 36
	Substitusilah persamaan yang kita peroleh ke rumus jumlah suku.
	=>  S14 = 7 (2a + 13b)
	=>  S14 = 7 (36)
	=>  S14 = 252
	Jadi, jumlah 14 suku pertama barisan itu yaitu 252.

6. Jika suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya yaitu 240, maka jumlah 7 suku pertamanya adalah

Pembahasan :

Dik : b = 2.

Karena beda diketahui, maka suku pertama sanggup dicari memakai rumus jumlah 20 suku pertama. Jumlah 20 suku pertama :

=> S20 = 20 / 2 (a + U20)
=> S20 = 10 (a+ U20 )
=> S20 = 10 (a+ a + 19b)
=> S20 = 10 (2a + 19.2)
=> S20 = 10 (2a + 38)
=> 240 = 20a + 380
=> 20a = -140
=> a = -7

Jumlah 7 suku pertama : => S7 = 7/2 (a + U7 )

=> S7= 7/2 (a+ a + 6b)
=> S7 = 7/2 (2a + 6b)
=> S7 = 7/2 (2(-7) + 6.2)
=> S7 = 7/2 (-14 + 12)
=> S7 =7/2 (-2)
=> S7 = -7

7. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku kedua yaitu 5 dan suku kelima yaitu 14. Jumlah 20
suku pertama barisan tersebut adalah

Pembahasan :

Suku kedua :

=>U2 = 5 =>a + b = 5 =>a = 5 - b Suku kelima : =>U5 = 14 =>a + 4b = 14 =>5 - b + 4b = 14 =>3b = 9 =>b = 3, maka a = 5 - 3 = 2 Jumlah 20 suku pertama : => S20 = 20/2(a+ U20) => S20 = 10 (a + U20 ) => S20 = 10 (a + a + 19b) => S20 = 10 (2.2 + 19.3) => S20 = 10 (61) => S20 = 610

8. Rumus suku ke-n barisan aritmatika 94, 90, 86, 82, ... adalah...

Pembahasan:

Suku pertama = a = 94
Beda = b = 90 - 94 = -4

suku ke-n = Un = a + (n-1) b
                 = 94 + (n-1) -4
                 = 94 + (-4n) + 4
                 = 94 + 4 - 4n
           Un = 98 - 4n

9. Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama deret tersebut adalah

Pembahasan:

suku pertama = a = 17
Beda = b = U2-U1 = 20-17 = 3

Jumlah 30 suku pertama = S30
Sn  = n/2 (2a + (n-1)b)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1)3)
       = 15 (34 + 29.3)
       = 15 (34 + 87)
       = 15.121
       = 1.815

10. Banyak dingklik pada baris pertama di gedung kesenian ada 22 buah. Banyak dingklik pada baris di belakangnya 3 buah lebih banyak dari dingklik pada baris di depannya. Banyak dingklik pada baris kedua puluh adalah

Pembahasan:

Bila dituliskan, maka bentuk barisan aritmatika dingklik di gedung itu adalah: 22, 25, 28, ...
Ditanyakan: banyak dingklik pada baris ke-20. Makara kita diminta mencari U20
Un  = a + (n-1)b
U20 = 22 + (20-1)3
        = 22 + 19.3
        = 22 + 57
        = 79

11. Diketahui deret aritmatika dengan rumus Sn = 2n^2 + 3n. Beda deret aritmatika tersebut adalah.

Pembahasan:
Beda sanggup dicari dengan mengurangkan jumlah 2 suku (S2) dengan jumlah 1 suku (S1)
Sn = 2n^2 + 3n
S2 = 2.2^2 + 3.2
     = 2.4 + 6
     = 8 + 6
     = 14

Sn = 2n^2 + 3n
S1 = 2.1^2 + 3.1
     = 2.1 + 3
     = 2 + 3
     = 5
beda = b = S2-S1
               = 14 - 5
               = 9

12. Suatu tumpukan kerikil bata terdiri atas 15 lapis. Banyak kerikil bata pada lapis paling atas ada 10 buah, sempurna di bawahnya ada 12 buah, di bawahnya lagi ada 14, dan seterusnya. Banyak kerikil bata pada lapisan paling bawah ada...

Pembahasan:

Pada soal diketahui tumpukan ada 15 lapis, ini berarti jumlah n ada 15, n = 15
Batu bata pada lapis paling atas berjumlah 10, ini berarti U15 = 10
Batu bata pada lapis di bawahnya ada 12, ini berarti U14 = 12
Batu bata pada lapis di bawahnya lagi ada 14, ini berarti U13 = 14

Ditanyakan: jumlah kerikil bata pada lapisan paling bawah, ini berarti kita diminta mencari suku pertama atau a

U15 = 10
U14 = 12
Beda = b = U15-U14 = 10-12 = -2
Kita jabarkan U15
U15               = 10
Un                 = a + (n-1)b
a + (15-1).-2  = 10
a + 14.(-2)     = 10
a + (-28)        = 10
a                    = 10 + 28
a                    = 38

13. Dalam ruang pertunjukkan, di baris paling depan tersedia 18 kursi. Baris di belakangnya selalu tersedia 1 dingklik lebih banyak daripada baris di depannya. Jika dalam ruang itu terdapat 12 baris, banyak dingklik seluruhnya adalah... buah.

Pembahasan:
Pada soal diketahui:
Baris pertama jumlah dingklik 18 = U1 = a = 18
Baris di belakang 1 lebih banyak = beda = b = 1
Ditanyakan: jumlah seluruh dingklik dalam 1 gedung = Sn = S12 (karena ada 12 baris)
Sn = n/2 (2a + (n-1)b)
S12 = 12/2 (2.18 + (12-1).1)
       = 6 (36 + 11.1)
       = 6 (36 + 11)
       = 6.47
       = 282

14. Seorang pegwai kecil mendapatkan honor tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun honor tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah...

Pembahasan:
Gaji tahun pertama = a = 3.000.000
Tambahan honor per tahun = b = 500.000
n = 10 tahun
Sn = n/2(2a + (n – 1)b)
S10 = 10/2(2 x 3.000.000 + (10 – 1) 500.000
        = 5 (6.000.000 + 9 x 500.000)
        = 5(6.000.000 + 4.500.000)
        = 5 x 10.500.000
        = 52.500.000

15. Amir mempunyai kawat dipotong menjadi 5 bab yang ukurannya membentuk barisan aritmatika. Jika panjang kawat terpendek 15 cm dan terpanjang 23 cm, panjang kawat sebelum dipotong adalah..

Pembahasan:
Panjang kawat membentuk barisan aritmatika
Dipotong menjadi 5 = n = 5
Panjang kawat terpendek = a = 15 
Panjang kawat terpanjang = U5 = 23
Sn = n/2(a + Un)
S5 = 5/2(15 + 23)
    = 5/2(38)
    = 5 x 19
    = 95

16. Jumlah bilangan kelipatan 5 antara 200 dan 250 adalah?

Bilangan itu yaitu : 205, 210, 215, ....., 245 
a = 205, b = 5, 

Un = a + (n-1)b 
245 = 205 + (n-1)5 
245 = 205 + 5n - 5 
245 = 200 + 5n 
5n = 245 - 200 
5n = 45 
n = 9 

Sn = 1/2 n (a + Un) 
.....= 1/2 x 9 x (205 + 245) 
.....= 9/2 x 450 
Sn = 2025 

Sumber http://pusat-matematika.blogspot.com

Berlangganan Informasi Terbaru: