Deret Geometri Tak Hingga
Bentuk umum dari deret geometri tak hingga adalah
a + ar + ar2 + ar3 + ...
dimana a yakni suku pertama dan r yakni rasio.
Tanda titik tiga (...) diatas membuktikan bahwa penjumlahan dilanjutkan terus menerus dengan mengikuti contoh deret tersebut.
Ada dua istilah yang sering dipakai menyangkut barisan/deret tak hingga, yaitu konvergen dan divergen.
Konvergen artinya memusat atau menuju ke suatu titik tertentu. Sebaliknya, divergen artinya tidak memusat, sanggup jadi menyebar, berisolasi, atau mungkin konstan, yang niscaya tidak menuju ke suatu titik tertentu.
Pada deret geometri, kekonvergenan sanggup dilihat dari rasio deret tersebut.
Deret geometri tak hingga dikatakan konvergen dan memiliki jumlah jikalau dan hanya jika |r| < 1.
Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika dan hanya jika |r| ≥ 1. Deret divergen tidak memiliki jumlah.
Catatan :
|r| < 1 ≡ -1 < r < 1
|r| ≥ 1 ≡ r ≤ -1 atau r ≥ 1
Contoh 1
Periksa apakah deret berikut konvergen atau divergen dengan mengamati rasionya!
(a) 3 + 6 + 12 + 24 + ...
(b) 2 + 2 + 2 + 2 + ...
(c) 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
(d) 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + ...
(e) -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
(f) 2 - 6 + 18 - 54 + ...
Jawab :
(a) 3 + 6 + 12 + 24 + ... (divergen)
alasannya |r| = |2| ≥ 1
(b) 2 + 2 + 2 + 2 + ... (divergen)
karena |r| = |1| ≥ 1
(c) 1/2 + 1/4 + + 1/8 + 1/16 + ... (konvergen)
alasannya |r| = |1/2| < 1
(d) 3 - 1 + 1/3 - 1/9 + ... (konvergen)
alasannya |r| = |-1/3| < 1
(e) -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... (divergen)
alasannya |r| = |-1| ≥ 1
(f) 2 - 6 + 18 - 54 + ... (divergen)
alasannya |r| = |-3| ≥ 1
\(\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-\;r^{n})}{1-\;r}}\), r ≠ 1.
Ketika n semakin besar, tentunya semakin banyak suku-suku yang dijumlahkan. Bagaimana jikalau n menuju tak hingga? Apakah Sn juga akan menuju ke suatu bilangan tertentu ?
Seandainya Sn menuju ke suatu bilangan S ketika n menuju tak hingga, cukup beralasan jikalau kita menyampaikan bahwa S yakni jumlah dari deret tak hingga tersebut.
Jumlah dari suatu deret tak hingga yakni suatu nilai yang dituju Sn (jumlah parsial deret tersebut), ketika n bertambah besar menuju tak hingga.
Dengan kata lain, jumlah dari suatu deret tak hingga yakni limit dari jumlah parsial deret tersebut. Dalam notasi limit kita tulis $$\mathrm{S=\lim_{n \to \infty}\,S_{n}}$$
Dengan demikian, jumlah dari deret geometri tak hingga sanggup dinyatakan sebagai $$\mathrm{S=\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}$$
Jika |r| < 1 maka limit dari rn untuk n menuju tak hingga akan sama dengan nol. Akibatnya, $$\mathrm{\lim_{n \to \infty}\,\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{a}{1-r}} $$
Misalkan S = a + ar + ar2 + ...
Jika |r| < 1, maka $$\mathrm{S=\frac{a}{1-r}} $$
Contoh 2
Hitung jumlah deret tak hingga berikut!
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
Jawab :
a = 1 dan r = 1/2
Jumlah deret tak hingga tersebut adalah
\(\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-1/2}=2}\end{align} \)
Setelah mempelajari bahan perihal deret aritmatika dan deret geometri, mungkin ada dari kita yang bertanya, mengapa deret tak hingga hanya dibahas pada deret geometri, sedangkan deret aritmatika tidak.
Jawabannya sederhana, deret aritmatika sudah niscaya divergen, alasannya suku-sukunya tidak pernah menuju ke suatu bilangan tertentu, melainkan terus bertambah besar (b > 0) atau bertambah kecil (b < 0). Sehingga, jumlah tak hingga suku-sukunya tidak ada (±∞). Tentu saja hal ini tidak menarik untuk dibahas.
Sumber http://smatika.blogspot.com
Jawabannya sederhana, deret aritmatika sudah niscaya divergen, alasannya suku-sukunya tidak pernah menuju ke suatu bilangan tertentu, melainkan terus bertambah besar (b > 0) atau bertambah kecil (b < 0). Sehingga, jumlah tak hingga suku-sukunya tidak ada (±∞). Tentu saja hal ini tidak menarik untuk dibahas.
Soal Latihan Deret Geometri Tak Hingga
Latihan 1
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan dengan Un = 2-n. Tentukan jumlah tak hingga suku-suku dari barisan tersebut!
Jawab :
Diketahui : Un = 3-n.
U1 = 3-1.= 1/3
U2 = 3-2 = 1/9
Diperoleh
a = 1/3
r = \(\frac{1/9}{1/3}\) = 1/3
Jumlah tak hingga suku-sukunya adalah
\(\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}\;\; \Rightarrow \;\; S=\frac{1/3}{1-1/3}=1/2}\end{align} \)
Latihan 2
Jika jumlah dari deret geometri tak hingga sama dengan tiga kali suku pertamanya, maka rasio deret tersebut yakni ...
Jawab :
Diketahui : S = 3a
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\mathrm{3a}&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{\frac{a}{3a}} \\
\mathrm{1-r}&=\frac{1}{3} \\
\mathrm{r}&=\frac{2}{3}
\end{align}\)
Jadi, rasio deret tersebut yakni 2/3.
Latihan 3
Misalkan suku pertama deret geometri tak hingga yakni a. Tentukan batas-batas nilai a biar deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.
Jawab :
Dikethaui S = 2
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;2&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2(1-r)} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2-2r} \\
\mathrm{2r}&=\mathrm{2-a} \\
\mathrm{r}&= \frac{\mathrm{2-a}}{2}
\end{align}\)
Agar deret geometri yang dimaksud konvergen, haruslah -1 < r < 1
\(\begin{align}
-1&<\mathrm{\frac{2-a}{2}<1\;\;\;(kali\; 2)} \\
-2&<\mathrm{2-a<2\;\;\;(kurang\;2)} \\
-4&<\mathrm{-a<0\;\;\;\;\;\;\,(kali\;(-1))} \\
4&>\mathrm{a}>0 \\
0&<\mathrm{a}<4
\end{align}\)
Jadi, deret tersebut akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4
Latihan 4
Tentukan x biar jumlah tak hingga dari deret geometri berikut sama dengan 1
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{3}{(x+3)}+\frac{6}{(x+3)^{2}}+\frac{12}{(x+3)^{3}}+\;...}
\end{align}\)
Jawab :
Suku pertama deret tersebut adalah
a = \(\mathrm{\frac{3}{(x+3)}}\)
Rasio dari deret tersebut adalah
r = \(\mathrm{\frac{U_{2}}{U_{1}}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{x+3}}\)
Diketahui S = 1
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;1&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{ a} \\
1&= \mathrm{a+r} \\
1&= \mathrm{\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x+3}} \\
1&= \mathrm{\frac{5}{x+3}} \\
\mathrm{x+3}&= 5 \\
\mathrm{x}&=2
\end{align}\)
Latihan 5
Tentukan nilai dari pq, jikalau diketahui
p = log 2 + log22 + log32 + log42 + ...
q = log 5 + log25 + log35 + log45 + ...
Jawab :
p = log 2 + log22 + log32 + log42 + ...
Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 2 , r = log 2 dan S = p
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{p}&=\mathrm{\frac{log\,2}{1-log\,2}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,10-log\,2}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,5}} \\
&= \mathrm{\,^{5}log\,2}
\end{align}\)
q = log 5 + log25 + log35 + log45 + ...
Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 5 , r = log 5 dan S = q
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{q}&=\mathrm{\frac{log\,5}{1-log\,5}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,10-log\,5}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,2}} \\
&= \mathrm{\,^{2}log\,5}
\end{align}\)
Jadi, pq = 5log 2 . 2log 5 = 5log 5 = 1
Latihan 6
Tunjukkan bahwa perbandingan dari jumlah suku-suku genap (Sgenap) dengan jumlah suku-suku ganjil (Sganjil) dari suatu deret geometri tak hingga sama dengan rasio deret tak hingga tersebut
\(\begin{align}
\left (\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r} \right )
\end{align}\)
Jawab :
Jumlah suku suku genapnya :
Sgenap = U2 + U4 + U6 + ...
Sgenap = ar + ar3 + ar5 + ...
Perhatikan bahwa jumlah suku-suku genapnya membentuk deret geometri dengan suku pertama ar dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku genapnya adalah $$\begin{align}
\mathrm{S_{genap}=\frac{ar}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Jumlah suku-suku ganjilnya :
Sganjil = U1 + U3 + U5 + ...
Sganjil = a + ar2 + ar4 + ...
Perhatikan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya membentuk deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku ganjilnya adalah $$\begin{align}
\mathrm{S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Perbandingan Sgenap dengan Sganjil :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=\frac{ar/(1-r^{2})}{a/(1-r^{2})}=r}
\end{align}\)
Jadi, \(\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r}
\end{align}\)
Latihan 7
Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan jumlah 6. Apabila jumlah suku-suku genapnya sama dengan 2, tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut!
Jawab :
Diketahui : S = 6 dan Sgenap = 2
S = Sgenap + Sganjil , akibatnya
Sganjil = S - Sgenap = 6 - 2 = 4
\(\begin{align}
\mathrm{r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\end{align}\)
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow 6&=\frac{\mathrm{a}}{1-1/2} \\
\mathrm{a}&=6(1-1/2)=3
\end{align}\)
Jadi, suku pertama dan rasio deret tersebut adalah
a = 3 dan r = 1/2
Latihan 8
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dari permukaan tanah. Apabila bola tersebut selalu memantul 2/3 kali dari ketinggian sebelumnya, tentukan panjang lintasan bola mulai dijatuhkan hingga berhenti..
Jawab :
Panjang lintasan (PL) bola yang dijatuhkan dari ketinggian a, dengan rasio pantulan r, sanggup dihitung dengan memakai rumus
PL = 2S - a
Dari soal diketahui a = 10 dan r = 2/3
\(\begin{align}
\mathrm{PL}&=\mathrm{2S-a} \\
&=\mathrm{2\left ( \frac{a}{1-r} \right )-a} \\
&=2\left ( \frac{10}{1-\frac{2}{3}} \right )-10 \\
&=2(30)-10 \\
&=50
\end{align}\)
Jadi, panjang lintasan bola dikala dijatuhkan hingga bola berhenti yakni 50 m.
Latihan 9
Dengan memakai rumus deret geometri tak hingga, tunjukkan bahwa 0,999... = 1
Jawab :
Misalkan S = 0,999...
Dapat kita tulis, S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
Penjumlahan diatas membentuk deret geometri dengan a = 0,9 dan r = 0,1
sehingga jumlah tak hingganya adalah
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=1}
\end{align}\)
Kita simpulkan, S = 0,999... = 1
Latihan 10
Dengan memakai rumus deret geometri tak hingga, nyatakan bentuk desimal berulang 1,272727... ke dalam bentuk bilangan rasional (pecahan).
Jawab :
Misalkan S = 1,272727...
Dapat kita tulis,
S =1 + (0,27 + 0,0027 + 0,000027 + ...)
Penjumlahan diatas (dalam tanda kurung) membentuk deret geometri dengan
a = 0,27 dan r = 0,01
sehingga jumlah tak hingganya adalah
\(\begin{align}
\mathrm{S=1+\left (\frac{0,27}{1-0,01} \right )=1+\frac{0,27}{0,99}=1+\frac{3}{11}=\frac{14}{11}}
\end{align}\)
Jadi, 1,272727... = \(\frac{14}{11}\)
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri dinyatakan dengan Un = 2-n. Tentukan jumlah tak hingga suku-suku dari barisan tersebut!
Jawab :
Diketahui : Un = 3-n.
U1 = 3-1.= 1/3
U2 = 3-2 = 1/9
Diperoleh
a = 1/3
r = \(\frac{1/9}{1/3}\) = 1/3
Jumlah tak hingga suku-sukunya adalah
\(\begin{align}\mathrm{S=\frac{a}{1-r}\;\; \Rightarrow \;\; S=\frac{1/3}{1-1/3}=1/2}\end{align} \)
Latihan 2
Jika jumlah dari deret geometri tak hingga sama dengan tiga kali suku pertamanya, maka rasio deret tersebut yakni ...
Jawab :
Diketahui : S = 3a
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\mathrm{3a}&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{\frac{a}{3a}} \\
\mathrm{1-r}&=\frac{1}{3} \\
\mathrm{r}&=\frac{2}{3}
\end{align}\)
Jadi, rasio deret tersebut yakni 2/3.
Latihan 3
Misalkan suku pertama deret geometri tak hingga yakni a. Tentukan batas-batas nilai a biar deret tersebut konvergen dengan jumlah 2.
Jawab :
Dikethaui S = 2
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;2&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2(1-r)} \\
\mathrm{a}&= \mathrm{2-2r} \\
\mathrm{2r}&=\mathrm{2-a} \\
\mathrm{r}&= \frac{\mathrm{2-a}}{2}
\end{align}\)
Agar deret geometri yang dimaksud konvergen, haruslah -1 < r < 1
\(\begin{align}
-1&<\mathrm{\frac{2-a}{2}<1\;\;\;(kali\; 2)} \\
-2&<\mathrm{2-a<2\;\;\;(kurang\;2)} \\
-4&<\mathrm{-a<0\;\;\;\;\;\;\,(kali\;(-1))} \\
4&>\mathrm{a}>0 \\
0&<\mathrm{a}<4
\end{align}\)
Jadi, deret tersebut akan konvergen dengan jumlah 2, ketika 0 < a < 4
Latihan 4
Tentukan x biar jumlah tak hingga dari deret geometri berikut sama dengan 1
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{3}{(x+3)}+\frac{6}{(x+3)^{2}}+\frac{12}{(x+3)^{3}}+\;...}
\end{align}\)
Jawab :
Suku pertama deret tersebut adalah
a = \(\mathrm{\frac{3}{(x+3)}}\)
Rasio dari deret tersebut adalah
r = \(\mathrm{\frac{U_{2}}{U_{1}}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{x+3}}\)
Diketahui S = 1
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;1&=\mathrm{\frac{a}{1-r}} \\
\mathrm{1-r}&=\mathrm{ a} \\
1&= \mathrm{a+r} \\
1&= \mathrm{\frac{3}{x+3}+\frac{2}{x+3}} \\
1&= \mathrm{\frac{5}{x+3}} \\
\mathrm{x+3}&= 5 \\
\mathrm{x}&=2
\end{align}\)
Latihan 5
Tentukan nilai dari pq, jikalau diketahui
p = log 2 + log22 + log32 + log42 + ...
q = log 5 + log25 + log35 + log45 + ...
Jawab :
p = log 2 + log22 + log32 + log42 + ...
Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 2 , r = log 2 dan S = p
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{p}&=\mathrm{\frac{log\,2}{1-log\,2}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,10-log\,2}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,2}{log\,5}} \\
&= \mathrm{\,^{5}log\,2}
\end{align}\)
q = log 5 + log25 + log35 + log45 + ...
Dari deret diatas kita dapatkan
a = log 5 , r = log 5 dan S = q
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\mathrm{q}&=\mathrm{\frac{log\,5}{1-log\,5}}\\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,10-log\,5}} \\
&=\mathrm{\frac{log\,5}{log\,2}} \\
&= \mathrm{\,^{2}log\,5}
\end{align}\)
Jadi, pq = 5log 2 . 2log 5 = 5log 5 = 1
Latihan 6
Tunjukkan bahwa perbandingan dari jumlah suku-suku genap (Sgenap) dengan jumlah suku-suku ganjil (Sganjil) dari suatu deret geometri tak hingga sama dengan rasio deret tak hingga tersebut
\(\begin{align}
\left (\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r} \right )
\end{align}\)
Jawab :
Jumlah suku suku genapnya :
Sgenap = U2 + U4 + U6 + ...
Sgenap = ar + ar3 + ar5 + ...
Perhatikan bahwa jumlah suku-suku genapnya membentuk deret geometri dengan suku pertama ar dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku genapnya adalah $$\begin{align}
\mathrm{S_{genap}=\frac{ar}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Jumlah suku-suku ganjilnya :
Sganjil = U1 + U3 + U5 + ...
Sganjil = a + ar2 + ar4 + ...
Perhatikan bahwa jumlah suku-suku ganjilnya membentuk deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r2. Jadi, jumlah tak hingga suku ganjilnya adalah $$\begin{align}
\mathrm{S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^{2}} }
\end{align}$$
Perbandingan Sgenap dengan Sganjil :
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=\frac{ar/(1-r^{2})}{a/(1-r^{2})}=r}
\end{align}\)
Jadi, \(\begin{align}
\mathrm{\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}=r}
\end{align}\)
Latihan 7
Suatu deret geometri tak hingga konvergen dengan jumlah 6. Apabila jumlah suku-suku genapnya sama dengan 2, tentukan suku pertama dan rasio deret tersebut!
Jawab :
Diketahui : S = 6 dan Sgenap = 2
S = Sgenap + Sganjil , akibatnya
Sganjil = S - Sgenap = 6 - 2 = 4
\(\begin{align}
\mathrm{r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\end{align}\)
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow 6&=\frac{\mathrm{a}}{1-1/2} \\
\mathrm{a}&=6(1-1/2)=3
\end{align}\)
Jadi, suku pertama dan rasio deret tersebut adalah
a = 3 dan r = 1/2
Latihan 8
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dari permukaan tanah. Apabila bola tersebut selalu memantul 2/3 kali dari ketinggian sebelumnya, tentukan panjang lintasan bola mulai dijatuhkan hingga berhenti..
Jawab :
Panjang lintasan (PL) bola yang dijatuhkan dari ketinggian a, dengan rasio pantulan r, sanggup dihitung dengan memakai rumus
PL = 2S - a
Dari soal diketahui a = 10 dan r = 2/3
\(\begin{align}
\mathrm{PL}&=\mathrm{2S-a} \\
&=\mathrm{2\left ( \frac{a}{1-r} \right )-a} \\
&=2\left ( \frac{10}{1-\frac{2}{3}} \right )-10 \\
&=2(30)-10 \\
&=50
\end{align}\)
Jadi, panjang lintasan bola dikala dijatuhkan hingga bola berhenti yakni 50 m.
Latihan 9
Dengan memakai rumus deret geometri tak hingga, tunjukkan bahwa 0,999... = 1
Jawab :
Misalkan S = 0,999...
Dapat kita tulis, S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
Penjumlahan diatas membentuk deret geometri dengan a = 0,9 dan r = 0,1
sehingga jumlah tak hingganya adalah
\(\begin{align}
\mathrm{S=\frac{a}{1-r}=\frac{0,9}{1-0,1}=\frac{0,9}{0,9}=1}
\end{align}\)
Kita simpulkan, S = 0,999... = 1
Latihan 10
Dengan memakai rumus deret geometri tak hingga, nyatakan bentuk desimal berulang 1,272727... ke dalam bentuk bilangan rasional (pecahan).
Jawab :
Misalkan S = 1,272727...
Dapat kita tulis,
S =1 + (0,27 + 0,0027 + 0,000027 + ...)
Penjumlahan diatas (dalam tanda kurung) membentuk deret geometri dengan
a = 0,27 dan r = 0,01
sehingga jumlah tak hingganya adalah
\(\begin{align}
\mathrm{S=1+\left (\frac{0,27}{1-0,01} \right )=1+\frac{0,27}{0,99}=1+\frac{3}{11}=\frac{14}{11}}
\end{align}\)
Jadi, 1,272727... = \(\frac{14}{11}\)
0 Response to "Deret Geometri Tak Hingga"
Posting Komentar