Perbedaan Semigrup Dan Monoid

Tujuan penulisan postingan ini, yaitu semoga pembaca sanggup mengidentifikasi suatu himpunan tak kosong terhadap operasi biner merupakan suatu semigrup dan juga monoid. Sebagaimana telah diketahui bahwa struktur aljabar yang paling sederhana disebut grupoid. Suatu grupoid merupakan struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner dan tanpa syarat apa-apa. Lalu apakah yang dimaksud dengan semigrup dan juga monoid? Untuk menjawab pertanyaan ini, perlu sebuah definisi yang mejelaskan ihwal semigrup dan juga monoid. Perhatikan dan pahami definisi di bawah ini :

Definisi 1 (Semigrup)

Suatu grupoid (H,*) dikatakan semigrup jikalau memenuhi syarat-syarat berikut :

>> (H,*) memenuhi sifat tertutup, {ambil a,b anggota H maka a * b anggota H}.

>> (H,*) memenuhi sifat assosiatif, {ambil a,b,c anggota H maka (a*b)*c = a*(b*c)}.

Contoh (Semigrup)

Misalkan N himpunan bilangan orisinil dengan operasi penjumlahan maka (N,+) merupakan semigrup. Hal ini sanggup dibuktikan sebagaimana berikut :

>> Ambil 1 dan 2 anggota N, maka 1 + 2 = 3. Karena, 3 anggota N sehingga (N,+)

     memenuhi sifat tertutup. (anda sanggup memperlihatkan referensi lain bahwa (N,+) tertutup)

*Catatan : Sifat tertutup merupakan sifat yang dimiliki oleh sebuah himpunan yang apabila dikenakan sebuah operasi terhadap anggota-anggotanya maka karenanya merupakan anggota himpunan tersebut.

>> Ambil 1,2, dan 3 anggota N, maka (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)

                                                                       3 + 3 = 1 + 5

                                                                             6 = 6  (terbukti memenuhi sifat assosiatif)

Jadi, (N,+) merupakan semigrup. Namun apakah (N,+) juga merupakan monoid? 

Definisi 2 (Monoid)

Suatu grupoid (H,*) dikatakan monoid jikalau memenuhi syarat-syarat berikut :

>> (H,*) memenuhi sifat tertutup, {ambil a,b anggota H maka a * b anggota H}.

>> (H,*) memenuhi sifat assosiatif, {ambil a,b,c anggota H maka (a*b)*c = a*(b*c)}.

>> (H,*) memiliki unsur identitas, {ada e anggota H sehingga untuk setiap a anggota H

     berlaku a*e = e*a = a, dimana e = unsur identitas dari H}

Contoh (Monoid)

Misalkan N himpunan bilangan orisinil dengan operasi perkalian maka (N, x) merupakan monoid. Hal ini sanggup dibuktikan sebagaimana berikut :

>> Ambil 1 dan 2 anggota N maka 1 x 2 = 2. Karena 2 anggota N sehingga (N, x) memenuhi

     sifat tertutup.

>> Ambil 1, 2, dan 3 anggota N maka (1 x 2) x 3 = 1 x (2 x 3)

                                                                      2 x 3 = 1 x 6

                                                                         6    =   6  (memenuhi sifat assosiatif)

>> Ada 1 anggota N sehingga 2 anggota N berlaku 2 x 1 = 1 x 2 = 2

      (ada 1 unsur identitas perkalian)

Jadi,  (N, x) merupakan monoid. Apakah (N, x) juga merupakan grup?

Simaklah klarifikasi mengenai GRUP di sini : <Hakikat Sifat-sifat Grup>

Rujukan :

Tahmir, Suradi. 2009. Teori Grup. Makassar : Andira Publisher.

Mas’oed, Fadli. 2013. Struktur Aljabar. Jakarta : Akademia Permata.

Harapan admin, mudah-mudahan bermanfaat bagi teman blogger ... dan jangan lupa komennya serta bagikan pengetahuan ini kepada yang lain (budayakan sedekah pengetahuan).

Sumber http://gemarmatematika21.blogspot.com

Berlangganan Informasi Terbaru: