» » Pembahasan Soal Un Persamaan Dan Pertidaksamaan Eksponen

Pembahasan Soal Un Persamaan Dan Pertidaksamaan Eksponen

Edit

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) Sekolah Menengan Atas bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen.

Materi-materi yang harus dikuasai dengan baik :
  • Menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyederhanakan bentuk-bentuk eksponen.
  • Memfaktorkan persamaan kuadrat.
  • Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat.
  • Menggunakan sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan eksponen.



1.   UN 2003
Penyelesaian persamaan  \(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}}}
\end{align}\) yaitu p dan q, dengan p > q. Nila p + 6q = ...
A.   17
B.   -1
C.   4
D.   6
E.   9

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{\sqrt{8^{x^{2}-4x+3}}} & = \mathrm{\frac{1}{32^{x-1}}} \\
\mathrm{8^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{32^{-(x-1)}} \\
\mathrm{\left ( 2^{3} \right )^{\frac{x^{2}-4x+3}{2}}} & = \mathrm{\left ( 2^{5} \right )^{-(x-1)}} \\
\mathrm{{\color{Red} 2}^{ \frac{3\left ( x^{2}-4x+3 \right )}{2} }} & = \mathrm{{\color{Red} 2}^{-5(x-1)}} \\
\mathrm{\frac{3(x^{2}-4x+3)}{2}} & =\mathrm{-5(x-1)} \\
\mathrm{3(x^{2}-4x+3)} & = \mathrm{-10(x-1)} \\
\mathrm{3x^{2}-12x+9} & = \mathrm{-10x+10} \\
\mathrm{3x^{2}-2x-1} & = 0 \\
\mathrm{(3x+1)(x-1)} & = 0 \\
\mathrm{x=-1/3\;\;atau\;\;} & \mathrm{x=1}
\end{align}\)

Karena p > q, maka p = 1 dan q = -1/3.
Jadi, nilai p + 6q  =  1 + 6(-1/3)  =  -1

Jawaban : B


2.   UN 2006
Akar-akar persamaan eksponen 32x - 10.3x+1 + 81 = 0 yaitu x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai x1 - x2 = ...
A.   -4
B.   -2
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
32x  -  10.3x+1  +  81  =  0
(3x)2  -  10.3x.31  +  81  =  0 
(3x)2  -  30(3x)  +  81  =  0
(3x - 3)(3x - 27) = 0
3x  = 3  atau  3x = 27
x = 1  atau  x = 3

Karena  x1 > x2, maka x1 = 3 dan x2 = 1.
Jadi,  x1 - x2  =  3 - 1  =  2

Jawaban : C


3.   UN 2006
Akar-akar persamaan 2.34x - 20.32x + 18 = 0 yaitu x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ...
A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
2.34x  -  20.32x  +  18  =  0
2(32x)2  -  20(32x)  +  18  =  0     ÷ 2
(32x)2  -  10(32x)  +  9  =  0
(32x - 1)(32x - 9) = 0
32x = 1  atau  32x = 9
32x = 30  atau  32x = 32
2x = 0  atau  2x = 2
x = 0  atau  x = 1

Jadi, nilai x1 + x2  =  0 + 1  =  1

Jawaban : B


4.   UN 2007
Akar-akar persamaan 32x+1 - 28.3x + 9 = 0 yaitu x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka 3x1 - x2 = ...
A.   -5
B.   -1
C.   4
D.   5
E.   7

Pembahasan :
32x+1  -  28.3x  +  9  =  0
32x.31  -  28.3x  +  9  =  0
3(3x)2  -  28(3x)  +  9  =  0

Misalkan y = 3x, persamaan diatas menjadi
3y2 - 28y + 9 = 0
(3y - 1)(y - 9) = 0
y = 1/3  atau  y = 9

Karena y = 3x, maka penyelesaiannya menjadi
3x = 1/3  atau  3x = 9
3x = 3-1  atau  3x = 32
x = -1  atau  x = 2

Karena x1 > x2, maka x1 = 2 dan x2 = -1.
Jadi, 3x1 - x2 = 3(2) - (-1) = 7

Jawaban : E


5.   UN 2008
Bila x1 dan x2 penyelesaian dari persamaan 22x - 6.2x+1 + 32 = 0 dan x1 > x2, maka nilai 2x1 + x2 = ...
A.   1/4
B.   1/2
C.   4
D.   8
E.   16

Pembahasan :
22x  -  6.2x+1  +  32  =  0
(2x)2  -  6.2x.21  +  32  =  0
(2x)2  -  12(2x)  +  32  =  0
(2x - 4)(2x - 8) = 0
2x = 4  atau  2x = 8
x = 2  atau  x = 3

Karena x1 > x2, maka x1 = 3 dan x2 = 2.
Jadi, nilai 2x1 + x2  =  2(3) + 2  =  8

Jawaban : D


6.   UN 2008
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen \(\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}\geq \left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}}
\end{align}\) yaitu ...
A.   {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B.   {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C.   {x / x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2}
D.   {x / x ≤ -2  atau  x ≥ 10/3}
E.   {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
\(\begin{align}
\mathrm{9^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( \frac{1}{27} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{\left ( 3^{2} \right )^{2x-4}} & \geq \mathrm{\left ( 3^{-3} \right )^{x^{2}-4}} \\
\mathrm{3^{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{3^{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{2(2x-4)}} & \geq \mathrm{{-3(x^{2}-4)}} \\
\mathrm{{4x-8}} & \geq \mathrm{{-3x^{2}+12}} \\
\mathrm{{3x^{2}+4x-20}} & \geq 0 \\
\end{align}\)

Pembuat nol :
3x2 + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

Jawaban : C


7.   UN 2009
Akar-akar persamaan 5x+1 + 52-x = 30 yaitu a dan b, maka a + b = ...
A.   6
B.   5
C.   4
D.   1
E.   0

Pembahasan :
5x+1  +  52-x  =  30
5x.51  +  52.5-x  =  30 
5(5x)  +  25(5-x)  =  30    × 5x
5(5x)2  +  25  =  30(5x)
5(5x)2  -  30(5x)  +  25  =  0   ÷ 5
(5x)2  -  6(5x)  +  5  =  0
(5x - 1)(5x - 5) = 0
5x = 1  atau 5x = 5
x = 0  atau  x = 1

Diperoleh a = 0 dan b = 1.
Jadi, a + b  =  0 + 1  =  1

Jawaban : D


8.   UN 2009
Akar-akar persamaan 9x - 12.3x + 27 = 0 yaitu α dan β. Nilai αβ = ...
A.   -3
B.   -2
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan :
9x  -  12.3x  +  27  =  0
(3x)2  -  12(3x)  +  27  =  0
(3x - 3)(3x - 9) = 0
3x = 3  atau 3x = 9
x = 1  atau  x = 2

Diperoleh α = 1  dan  β = 2.
Jadi, nilai αβ = 1.2 = 2

Jawaban : D


9.   UN 2012
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 52x - 6.5x+1 + 125 > 0, x ∈ R yaitu ...
A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
52x  -  6.5x+1  +  125  >  0
(5x)2  -  6.5x.51  +  125  >  0
(5x)2  -  30(5x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y2 - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5x, maka penyelesaiannya menjadi
5x < 5  atau  5x > 25
5x < 51  atau  5x > 52
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D


10.   UN 2014
Himpunan penyelesaian dari 32x - 6.3x < 27 yaitu ...
A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
32x  -  6.3x  <  27
(3x)2  -  6(3x)  -  27  <  0

Misalkan y = 3x, pertidaksamaan diatas menjadi
y2 - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
y2 - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau sanggup pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3x, maka
3x > -3  dan  3x < 9
3x > -3  dan  3x < 32
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C


11.   UN 2017
Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3.4x - 7.2x + 2 > 0 yaitu ...
A.   x < -1  atau x > 2log 3
B.   x < 2log 1/3  atau  x > 1
C.   2log 1/3 < x < 1
D.   x < 1  atau  x > 2log 1/3
E.   1 < x < 2log 1/3

Pembahasan :
3.4x  -  7.2x  +  2  >  0
3(2x)2  -  7(2x)  +  2  >  0

Misalkan y = 2x, pertidaksamaan diatas menjadi
3y2 - 7y + 2 > 0

Pembuat nol :
3y2  - 7y + 2 = 0
(3y - 1)(y - 2) = 0
y = 1/3  atau  y = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 1/3  atau  y > 2

Karena y = 2x, maka
2x < 1/3             atau  2x > 2
\(\mathrm{2^{x}}\) < \(\mathrm{2^{^{2}log\,1/3}}\)  atau  2x > 21
x < 2log 1/3   atau  x > 1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
x < 2log 1/3  atau  x > 1

 Jawaban : B


12.   UN 2017
Penyelesaian dari 5-2x+2 + 74 . 5-x - 3 ≥ 0 yaitu ...
A.   x ≤ -3  atau  x ≥ 1/25
B.   -3 ≤ x ≤ 1/25
C.   x ≤ 2
D.   x ≥ 2
E.   x ≥ -2

Pembahasan :
5-2x+2  +  74 . 5-x  -  3 ≥ 0
5-2x . 52  +  74 . 5-x  -  3 ≥ 0
25(5-x)2  +  74(5-x)  -  3  ≥  0

Misalkan y = 5-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y2 + 74y - 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y2 + 74y - 3 = 0
(y + 3)(25y - 1) = 0
y = -3  atau  y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3  atau y ≥ 1/25

Karena y = 5-x, maka
5-x ≤ -3  ⟶  tidak memiliki penyelesaian
5-x ≥ 1/25  ⇔  5-x ≥ 5-2  ⇔  -x  ≥ -2  ⇔  x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya yaitu x ≤ 2

Jawaban : C



Sumber http://smatika.blogspot.com

Berlangganan Informasi Terbaru:

0 Response to "Pembahasan Soal Un Persamaan Dan Pertidaksamaan Eksponen"

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)