Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
 |
| Bimbel Diah Jakarta TImur |
Sistem persamaan linear dua variabel yang di pelajari pada kelas 8 seringkali kita gunakan untuk pada materi lain baik dalam pelajaran matematika, juga pada pelajaran lain ibarat fisika, ekonomi dan lainnya. Sistem persamaan linear dua variabel, tiga variabel dipakai untuk memilih solusi suatu persamaan.
Sistem persamaan linear ialah sekumpulan persamaan linear (garis lurus) yang terdiri dari beberapa variabel yang dari sistem tersebut sanggup ditentukan nilai dari variabel yang diberikan.
Sistem persamaan linear ialah sekumpulan persamaan linear (garis lurus) yang terdiri dari beberapa variabel yang dari sistem tersebut sanggup ditentukan nilai dari variabel yang diberikan.
Apa sih variabel itu? Variabel atau peubah ialah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan pasti. Nahhh pada sistem persamaan ini kita sanggup mengetahui nilai variabel yang diberikan.
Bagaimana caranya? Ada beberapa cara yang sanggup dipakai untuk mencari nilai atau penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.
1. Metode grafik
Cara ini dilakukan dengan menggambar masing-masing persamaan yang diberikan pada diagram kartesius sampai ditemukan sebuah titik potong. Titik potong yang didapat itu ialah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut :
a. x + y = 6 dan 2x + y = 8
b. 3x + 2y = 12 dan x + 2y = 8
Jawab :
a. Untuk menggambar grafik persamaan linear, kita harus mencari titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y. Titik potong garis terhadap sumbu x didapat jikalau nilai y = 0, sebaliknya titik potong terhadap sumbu y didapat jikalau nilai x = 0. Setelah didapatkan dua titik potong tersebut maka sanggup ditarik garis yang melewati kedua titik.
Garis x + y = 6
Titik potong sumbu x ( y = 0)
x + 0 = 6
x = 6
titik potong (6,0)
Titik potong sumbu y (x = 0)
0 + y = 6
y = 6
titik potong (0,6)
Tarik garis yang melewati kedua titik maka didapatkan garis ibarat yg tergambar dengan garis warna biru pada diagram kartesius di bawah.
Garis 2x + y = 8
Titik potong sumbu x ( y = 0)
2x + 0 = 8
2x = 8
x = 4
titik potong (4,0)
Titik potong sumbu y (x = 0)
2(0) + y = 8
y = 8
titik potong (0,8)
Tarik garis yang melewati kedua titik maka didapatkan garis ibarat yg tergambar dengan garis warna merah pada diagram kartesius di bawah.
 |
| SPLDV Metode Grafik |
Kedua garis yang telah digambar berpotongan pada titik (2,4). Maka penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut ialah (2,4) yang artinya nilai x = 2 dan nilai y = 4.
b. Garis 3x + 2y = 12
Titik potong sumbu x ( y = 0)
3x + 2(0) = 12
3x = 12
x = 4
titik potong (4,0)
Titik potong sumbu y (x = 0)
3(0) + 2y = 12
2y = 12
y = 6
titik potong (0,6)
Pada gambar di bawah ditunjukkan dengan garis biru
Garis x + 2y = 8
Titik potong sumbu x ( y = 0)
x + 2(0) = 8
x = 8
titik potong (8,0)
Titik potong sumbu y (x = 0)
0 + 2y = 8
2y = 8
y = 4
titik potong (0,4)
Pada gambar dibawah ditunjukkan dengan garis merah
 |
| SPLDV Metode Grafik |
Kedua garis yang telah digambar berpotongan pada titik (2,3). Maka penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut ialah (2,3) yang artinya nilai x = 2 dan nilai y = 3.
2. Metode Substitusi
Metode Substitusi ialah suatu metode mencari penyelesaian persamaan dengan cara mensubstitusi (mengganti) salah satu variabelnya dengan persamaan lain ataupun dengan nilai yang sudah diketahui.
contoh :
a. 3x + y = 0 dan 2x – 3y = 11
b. 4x + 3y = 6 dan 2x – y = 3
c. 3x + 4y = 24 dan 5x + 2y = 26
Jawab :
a. Pilih salah satu persamaan yang akan kita substitusi ke persamaan lain. Lalu ubah salah satu variabelnya menjadi bentuk persamaan ekuivalen.
Kita pilih persamaan 3x + y = 0
Ubah dengan memindahkan 3x ke ruas kanan sehingga bentuknya menjadi
y = - 3x
Substitusi nilai y ke persamaan yang lain
2x - 3y = 11
2x - 3 (-3x) = 11
2x + 9x = 11
11x = 11
x = 1
Substitusi nilai x ke salah satu persamaan yang kita inginkan
2x - 3y = 11
2(1) - 3y = 11
2 - 3y = 11
- 3y = 11 - 2
- 3y = 9
y = 9/-3
y = -3
Penyelesaian (1,-3)
b. 4x + 3y = 6 dan 2x – y = 3
Misalkan dipilih 2x - y = 3
2x - y = 3
- y = 3 - 2x
y = 2x - 3
Substitusi ke persamaan 4x + 3y = 6
4x + 3(2x - 3) = 6
4x + 6x - 9 = 6
10x = 6 + 9
10x = 15
x = 15/10 = 1½
Substitusi nilai x ke salah satu persamaan
2x - y = 3
2(1½) - y = 3
3 - y = 3
- y = 3 - 3
- y = 0
y = 0
Penyelesaian (1½, 0)
Substitusi nilai x ke salah satu persamaan
5x + 2y = 26
5(4) + 2y = 26
20 + 2y = 26
2y = 26 - 20
2y = 6
y = 6/3 = 2
Penyelesaiannya ialah (4,2)
Maka harga 1 baju ialah Rp 65.000,00 dan harga 1 kaos Rp 40.000,00.
Harga 3 baju dan 2 kaos adalah
3b + 2k = 3(65.000) + 2 (40.000)
= 195.000 + 80.000
= Rp 275.000,00
3. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari panjangnya, Tentukan luas dari persegi panjang tersebut.
Jawab :
Rumus keliling = 2 (p + l) = 2p + 2l, maka
2p + 2l = 44
p - l = 6 ⇒ p = 6 + l
2p + 2l = 44
2(6 + l) + 2l = 44
12 + 2l + 2l = 44
4l = 44 -12
4l = 32
l = 8 cm
p = 6 + l
p = 6 + 8 = 14 cm
Luas = p x l
= 14 cm x 8 cm
= 112 cm²
Jumlah risol yang dijual ialah 16 buah dan bolu 24 buah.
Keuntungan yang diperoleh adalah
500a + 500b = 400(16) + 500(24)
= 6.400 + 12.000
= Rp 18.400,00
Demikian materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan berberapa referensi soal serta pembahasan yang diberikan Bimbel Diah Jakarta Timur. Semoga sanggup membantu untuk lebih memahami.
5x + 2y = 26
5(4) + 2y = 26
20 + 2y = 26
2y = 26 - 20
2y = 6
y = 6/3 = 2
Penyelesaiannya ialah (4,2)
3. Metode Eliminasi
Metode Eliminasi ialah suatu metode mencari penyelesaian persamaan dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelnya. Menghilangkan variabel ialah dengan cara menyamakan koefisien variabel yang dipilih terlebih dahulu.
contoh :
a. 4x - 5y = -9 dan 2x + 3y = 23
b. 4x - 3y = 15 dan -3x + 2y = - 12
Jawab
a. Jika ingin mengeliminasi variabel x maka samakan koefisien variabel x menjadi KPK dari kedua koefisien.
 |
| penyelesaian |
Jika koefisien variabel yang dieliminasi bertanda sama (sama-sama negatif atau sama-sama negatif), maka eliminasi dengan cara mengurangi. Tetapi jikalau koefisien variabel yang ingin dieliminasi berbeda, maka eliminasi dengan cara menjumlah.
 |
| penyelesaian |
Penyelesaiannya ialah (4,5)
b. Eliminasi variabel x
 |
| penyelesaian |
Eliminasi variabel y
 |
| penyelesaian |
Penyelesaiannya ialah (6,3)
4. Metode Eliminasi dan Substitusi
Metode berikut memakai eliminasi untuk mendapat nilai dari salah satu variabel. Kemudian variabel yang sudah diketahui nilainya disubstitusi ke salah satu persamaan untuk mendapat nilai variabel yang lain.
contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
2x +3y = 12 dan 4x -7y = -2
Jawab :
Eliminasi variabel x
 |
| penyelesaian |
Substitusi nilai y ke persamaan 2x + 3y = 12
2x + 3(2) = 12
2x + 6 = 12
2x = 12 -6
2x = 6
x = 6/2 = 3
Himpunan penyelesaian {(3,2)}
Selain metode-metode penyelesaian di atas, ada beberapa model sistem persamaan linear yang membutuhkan penyelesaian tambahan. Perhatikan beberapa referensi sistem persamaan berikut, tentukan himpunan penyelesaiannya.
 |
| penyelesaian |
Jawab
a. Persamaan kedua berupa pecahan, semoga lebih gampang maka kedua ruas dikali dengan KPK penyebutnya semoga koefisien variabel berupa bilangan bulat.
½x - ⅓ y = 2......... dikali 6
3x - 2y = 12
Lanjutkan penyelesaian dengan metode yg telah dibahas sebelumnya, contohnya metode eliminasi.
 |
| penyelesaian |
Himpunan penyelesaian {(2, -3)}
b. Persamaan pertama dikali 6
 |
| penyelesaian |
Persamaan kedua dikali 4
 |
| penyelesaian |
Lanjutkan penyelesaian dari (I) dan (II)
 |
| penyelesaian |
x - 6y = 15
3 - 6y = 15
- 6y = 15 -3
- 6y = 12
y = 12/-6
y = -2
Himpunan penyelesaian {(3,-2)}
c. Misalkan a = 1/x dan b = 1/y, maka
persamaan I menjadi 2a + b = 6/5
persamaan II menjadi a - 3b = -1/10 → a = 3b - 1/10
Substitusi ke 2a + b = 6/5
2(3b - 1/10) + b = 6/5
6b - 1/5 + b = 6/5
6b + b = 6/5 + 1/5
7b = 7/5
b = 1/5
1/y = 1/5, maka y = 5
a = 3b - 1/10
a = 3(1/5) - 1/10
a = 3/5 - 1/10
a = 5/10
a = 1/2
1/x = 1/2
x = 2
Himpunan penyelesaian {(2,5)}
d. Misalkan a = 1/(x+2), b = 1/(y+3) maka
3a + 5b = -1/4
a - 3b = -5/4 → a = 3b - 5/4
Substitusi ke 3a + 5b = -1/4
3(3b - 5/4) + 5b = -1/4
9b -15/4 + 5b = -1/4
9b + 5b = -1/4 + 15/4
14b = 14/4
b = 1/4
1/(y+3) = 1/4
y+3 = 4
y = 4 - 3 = 1
a = 3b - 5/4
a = 3(1/4) - 5/4
a = 3/4 - 5/4
a = -2/4
a = -1/2
1/(x+2) = -1/2
x + 2 = -2
x = -2 - 2
x = -4
Himpunan penyelesaian {(-4,1)}
Contoh soal cerita
1. Harga 3 pensil dan 2 buku tulis ialah Rp5.100,00. Sedangkan harga 2 pensil dan 4 buku tulis ialah Rp7.400,00. Model matematika yang sempurna untuk pernyataan tersebut adalah….
Jawab :
Misalkan hal yang diketahui menjadi variabel yang sesuai, contohnya x dan y, a dan b, p dan q dan sebagainya. Untuk menjawab soal ini kita misalkan pensil dengan p dan buku dengan b.
3 pensil dan 2 buku tulis ialah Rp5.100,00
⇒3p + 2b = 5.100
2 pensil dan 4 buku tulis ialah Rp7.400,00
⇒ 2p + 4b = 7.400
bisa disederhanakan dengan sama-sama dibagi 2
⇒ p + 2b = 3.700
Jawab :
Misalkan hal yang diketahui menjadi variabel yang sesuai, contohnya x dan y, a dan b, p dan q dan sebagainya. Untuk menjawab soal ini kita misalkan pensil dengan p dan buku dengan b.
3 pensil dan 2 buku tulis ialah Rp5.100,00
⇒3p + 2b = 5.100
2 pensil dan 4 buku tulis ialah Rp7.400,00
⇒ 2p + 4b = 7.400
bisa disederhanakan dengan sama-sama dibagi 2
⇒ p + 2b = 3.700
2. Jika harga 2 buah baju dan 1 kaos ialah Rp.170.000,00. Sedangkan harga 1 baju dan 3 kaos ialah Rp.185.000,00. Harga 3 baju dan 2 kaos adalah.....
Jawab :
Misalkan baju = b dan kaos = k
Sistem persamaan linear :
2b + k = 170.000
b + 3k = 185.000
Jawab :
Misalkan baju = b dan kaos = k
Sistem persamaan linear :
2b + k = 170.000
b + 3k = 185.000
Maka harga 1 baju ialah Rp 65.000,00 dan harga 1 kaos Rp 40.000,00.
Harga 3 baju dan 2 kaos adalah
3b + 2k = 3(65.000) + 2 (40.000)
= 195.000 + 80.000
= Rp 275.000,00
3. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 44 cm. Jika lebarnya 6 cm lebih pendek dari panjangnya, Tentukan luas dari persegi panjang tersebut.
Jawab :
Rumus keliling = 2 (p + l) = 2p + 2l, maka
2p + 2l = 44
p - l = 6 ⇒ p = 6 + l
2p + 2l = 44
2(6 + l) + 2l = 44
12 + 2l + 2l = 44
4l = 44 -12
4l = 32
l = 8 cm
p = 6 + l
p = 6 + 8 = 14 cm
Luas = p x l
= 14 cm x 8 cm
= 112 cm²
4.Bibi menjual dua jenis camilan elok yaitu risol dan bolu. Keranjang berdagangnya hanya sanggup memuat 40 buah kue. Harga modal risol ialah RP 1.500,00 perbuah, sedangkan harga modal bolu ialah Rp 2.000,00. Modal yang ia keluarkan ialah Rp 72.000,00. Berapa pendapatan Bibi jikalau penjualan risol untungnya Rp 400,00 perbuah dan bolu menunjukkan untung Rp 500,00 perbuah?
Jawab :
Misalkan risol = a dan bolu = b
jumlah camilan elok = 40 ⇒ a + b = 40
modal camilan elok ⇒ 1.500a + 2.000b = 72.000 (sederhanakan dengan dibagi 500)
⇒ 3a + 4b = 144
Jawab :
Misalkan risol = a dan bolu = b
jumlah camilan elok = 40 ⇒ a + b = 40
modal camilan elok ⇒ 1.500a + 2.000b = 72.000 (sederhanakan dengan dibagi 500)
⇒ 3a + 4b = 144
Keuntungan yang diperoleh adalah
500a + 500b = 400(16) + 500(24)
= 6.400 + 12.000
= Rp 18.400,00
Demikian materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan berberapa referensi soal serta pembahasan yang diberikan Bimbel Diah Jakarta Timur. Semoga sanggup membantu untuk lebih memahami.
Sumber http://d1ahk.blogspot.com
0 Response to "Sistem Persamaan Linear Dua Variabel"
Posting Komentar